习题 5, § 20

设 K 为交换域，A 为 K-代数。我们赋予$A^*$其规范的左A-模结构。对于$t\in A^*$，我们从$A\times A$到K用$\varphi_t$映射$(x, y)\mapsto t(xy)$表示。

a) 证明$x, y, z\in A$的K双线性映射$\varphi : A\times A\rightarrow K$满足$\varphi (xy, z) =\varphi (x, yz)$从$A^*$到集合的定义一个K-线性同构。

b) 如果从 A 到 $A^*$ 的同态 $a\mapsto at$ 是双射的，我们说元素 $t\in A^*$ 是可逆的。设 A 为有限次数的 K-代数。证明以下条件是等价的：

(i) A 是弗罗贝尼乌斯 (习题 4)。

(ii) A 承认可逆线性形式。

(iii) A 承认线性形式，其核不存在包含 A 的任何左理想。