习题 11, § 21

设A和H为G的子群。假设A是可交换的且正规的，并且G是H和A的半直积。群H作用于$\widehat{A} =$Hom(A$,K^*$)； $\widehat{A}$中H的轨道代表$(\alpha_i)_{i\in\widehat{A}/H}$选择系统。对于$i\in \widehat{A}/H$，令$H_i$为H中$\alpha_i$的稳定子，并令$G_i=$AH$_i$。对于$H_i$中的每不可约表示$\sigma$，$G_i$中的定义表示$\rho_{i,\sigma}$乘设定$\rho_{i,\sigma}(ah) =$$\alpha_i(a)\sigma (h)$，对于$a\in A$和$h\in H$。证明表示 Ind$^G_{G_i}(\rho_{i,\sigma})$，对于$i\in \widehat{A}/H$和$\sigma \in \widehat{H}_i$，是不可约且成对非同构的，并且我们通过这种方式获得G的所有不可约表示（应用习题 9）。