习题 12, § 21

令 H 为 G 的子群；假设对于每个 $g\in G$- H，我们有等式 $H\cap gHg^{-1}=\{1\}$。

a) 设$u$为H上的中心函数。证明函数Ind$^G_H(u)$重合与$u$在H$-\{1\}$上。如果$v$是另一个中心函数在H上使得$v(1) = 0$，那么我们有$\langle$Ind$^G_H(u)$，Ind$^G_H(v)\rangle_G=\langle u, v\rangle_H$。

b) 设 $\lambda \in \widehat{H}$；我们在H上用$\chi '_{\lambda}$函数$\chi_{\lambda}-d_{\lambda}$表示，在G上用$\theta_{\lambda}$函数$d_{\lambda}+$Ind$^G_H(\chi '_{\lambda})$表示。证明$\theta_{\lambda}$是G的不可约表示特征标次数$d_{\lambda}$，其限制与H同构于$\lambda$（使用a）至计算$\langle \theta_{\lambda}, \theta_{\lambda}\rangle ,\langle \theta_{\lambda},1\rangle$，以及$\langle$Res$^G_H(\theta_{\lambda}), \chi_{\lambda}\rangle )$。

c) 集合$\theta =\sum_{\lambda}d_{\lambda}\theta_{\lambda}$。证明我们有$\theta (h) = 0$（如果$h\in H-\{1\}$）和$\theta (g) =$$\theta (1) =$卡（H）（如果$g$不属于到H的任何共轭）。

d) 令$L'$为G的元素的集合，且不属于与H的任何共轭，以及集合$L = L'\cup \{1\}$。证明L是G的正规子群（从c推出）L是表示的核和特征标$\theta )$。

e) 证明G是H的半直积和L（L的计算阶）。 f) 令 $h\in H-\{1\}$。证明自同构 int($h$)限制为L除了1之外没有固定的点。推导出H 除卡(L)$-1$的阶。

g) 证明如果子群 H 有偶数阶，则L 是可交换的（应用I, §6、p. 145 的习题 23、d）。