习题 15, § 21

假设G的所有表示都是单项式；让我们证明G是可解的。 G 的阶上的推理乘归纳，我们可以假设 G 中与 G 不同的每个商群都是可解的。

a) 如果 G 包含两个不同的最小非平凡正规子群 $H_1$ 和 $H_2$，则它是可解的（考虑从 G 到 $G/H_1\times G/H_2$ 的典范同态）。

从现在开始假设 G 承认唯一的最小非平凡正规子群 H。

b) 如果 G 的限制对于 H 是非平凡的，则证明 G 的表示是忠实的。 c) 令$\pi$忠实于最小次数的表示；存在G的子群$H_i$和次数1的$H_i$的表示$\sigma_i$，使得$\pi$同构于$\bigoplus$Ind$^G_{H_i}(\sigma_i)$。设$\pi_0=\bigoplus$Ind$^G_{H_i}(\varepsilon_{H_i})$，其中$\varepsilon_{H_i}$表示单位表示。证明$\pi_0$的核是可交换的且非平凡的（观察$\pi_0$是不可约的）；推论G是可解的。