习题 2, § 21

设A为交换环，G为群。

a) 假设群 G 的代数 A[G] 为绝对平坦环 (VIII, p. 171, 习题 27)。证明环 A 绝对平坦。令 H 为 G 的子群，且承认有限生成子集；证明 A[G] 的左理想 $I_H$ (VIII, p. 22, 习题 25) 在 A[G] 中承认补集，并推论 H 是有限的（观察在相反的情况下，$I_H$ 的湮没子将减少到 (0)）。

b) 保留 a) 的假设。设$g$为有限阶$n$的G的元素。证明$n1_A$在A中是可逆的（令$x$是A的元素，使得$(1-e_g)x(1-e_g) = (1-e_g)$；构造元素$y$，使得$1-(1-e_g)x=y(1 +e_g+\cdots +e_{g^{n-1}})$）。推断 G 的每个有限子群中的阶在 A 中是可逆的。

c) 假设A是绝对平坦环，G生成的每个有限子集都是一个有限的子群，A中的基数可逆。证明环A[G]绝对平坦（约化对于G有限的情况，使用习题1）。