习题 21, § 21

让$n\in \mathbf{N}$。用元素$(p_1, . . . , p_n)$的$\mathbf{N}^n$由……组成的$\mathscr{D}_n$子集表示使得$p_1\geqslant \cdots \geqslant p_n$；赋予它词典编排的阶。对于$\mathbf{p}\in \mathscr{D}_n$，用$p'_i=p_i+n-i$定义的$\mathscr{D}_n$的$\mathbf{p}'$元素表示。设$\mathbf{X}= (X_1, . . . ,X_n)$为变量的序列； 集合$\Delta (\mathbf{X}) =\prod_{i<j}(X_i-X_j)$。

a) 令$P\in \mathbf{Z}[\mathbf{X}]$为反对称多项式，即对于每个元素$\sigma \in \mathfrak{S}_n$，都有一个满足关系$P(X_{\sigma(1)}, . . . ,X_{\sigma(n)}) =\varepsilon (\sigma )P(X_1, . . . ,X_n)$。证明存在对称多项式 $Q\in \mathbf{Z}[\mathbf{X}]$ 使得 P = ΔQ。

b) 对于每个 $\mathbf{p}\in \mathscr{D}_n$、集合 $S_{\mathbf{p}}(\mathbf{X}) = \Delta (\mathbf{X})^{-1}$ det(X$^{p'_i}_j$)$_{1\leqslant i,j\leqslant n}$。证明 $S_{\mathbf{p}}$ 是次数 $\sum p_i$ 且系数为整数的齐次对称多项式。

c) 如果$\mathbf{q}= (q_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$是$\mathscr{D}_n$的元素，并且P是$\mathbf{Q}[\mathbf{X}]$的元素，那么我们用$[P]_{\mathbf{q}}$表示P中$\mathbf{x}^{\mathbf{q}}$的系数。集合$K_{\mathbf{p}\mathbf{q}}= [S_{\mathbf{p}}]_{\mathbf{q}}$。证明对于 $\mathbf{q}>\mathbf{p}$，我们有 $K_{\mathbf{p}\mathbf{p}}= 1$ 和 $K_{\mathbf{p}\mathbf{q}}= 0$（展开等式 det(X$_j^{p'_i}$) $= S_{\mathbf{p}}(\mathbf{X}) \Delta (\mathbf{X})$

字典顺序阶）。推导出对称多项式的$\mathbf{Z}[\mathbf{X}]$由……组成的$\mathbf{Z}$-子模的$p \in \mathscr{D}_n$形式基的多项式$S_p$。 d) 令 $\mathbf{Y} = (Y_1, \ldots, Y_n)$ 为变量的序列。证明正式幂级数的等式

（使用等式$\det((1 - X_i Y_j)^{-1})_{1 \leq i, j \leq n} = \Delta(\mathbf{X}) \Delta(\mathbf{Y}) \prod_{1 \leq i, j \leq n} (1 - X_i Y_j)^{-1}$（cf.III, §8、p. 639、习题5），通过使用$(1 - T)^{-1}$的展开作为正式的幂级数计算左侧）。 e) 令 $P \in \mathbf{Q}[\mathbf{X}]$ 为对称多项式。对于每个 $p \in \mathscr{D}_n$、集合 $\omega_p(P) = [P \Delta]_{p'}$。证明等式$\omega_p(S_q) = \delta_{pq}$。推断对于每个 $q \in \mathscr{D}_n$，我们有 f) 对于 $\alpha \in \mathbf{N}^n$、集合、$f^\alpha(\mathbf{X}) = \prod_{j=1}^n (\sum_i X_i^j)^{\alpha_j}$ 和 $c_\alpha = \prod_{j=1}^n \frac{1}{j^{\alpha_j} \alpha_j!}$。证明我们有 $\mathscr{D}_n$ 中的 $p, q$ $\sum_{\alpha \in \mathbf{N}^n} c_\alpha \omega_p(f^\alpha) \omega_q(f^\alpha) = \delta_{pq}$（观察我们有