习题 25, § 21

考虑$\mathfrak{S}_n$的表示$\pi_{\mathbf{n}}$与集合$\mathbf{n}=[1, n]$（习题6）上的$\mathfrak{S}_n$的作用相关联。令$k$为正整数且$\chi_k$特征标等于表示$\wedge^k\pi_{\mathbf{n}}$。

a) 设 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$。证明公式$\chi_k(\sigma ) =\sum\varepsilon (\sigma |S)$，其中和用$k$元素接管$\mathbf{n}$的子集S的集合，使得$\sigma (S) = S$。

b) 使用Frobenius 公式证明$\wedge^k\pi_{\mathbf{n}}$是$\mathfrak{S}_n$的不可约表示与$\mathscr{S}_n$的元素$(n-k,1, . . . ,1)$相关联（表示的计算特征标）， 注意到和中唯一的项

Δ($\mathbf{X}$)$f^{\boldsymbol{\alpha }}(\mathbf{X}) =\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\varepsilon (\sigma )X^{\sigma(n)-1}_1. . .X^{\sigma(1)-1}_nf^{\boldsymbol{\alpha }}(\mathbf{X})$

其中 $\mathbf{X}^{\mathbf{p}'}$ 的系数为非零的对应到置换 $\sigma$，对于每个 $i$ 为满足 $\sigma (i)\leqslant i+ 1$，对于 $1\leqslant i < n-k.)$ 为 $\sigma (i) =i$