习题 5, § 21

令 $(M, \pi )$ 为 G 的表示。 a) 令 H 为 G 的子群，S 系统为左陪集 (mod H) 的 G 中的代表，N 为 H 下稳定的 M 的线性子空间。 M 中 G 的表示同构于由 H 中的 H 诱导的表示 N 当且仅当我们有$M =\bigoplus_{s\in S}sN$。 b) 假设 M 是子空间的族 $(M_i)_{i\in I}$ 的直和，并且在 I 上存在 G 的传递作用，使得 $\pi (g)(M_i)\subset M_{gi}$ 对应 $g\in G,i\in I$。设$o\in I$，并令$G_o$为其G中的稳定子。证明$\pi$与$M_o$中$G_o$的表示同构于表示。如果$\pi$不可约，则条件自动满足G在I上的作用具有传递性。