习题 8, § 21

令H和F为G的子群，并令S为G的子集，使得G为双类$FsH$的不相交的并。 设 $(N, \sigma )$ 为 H 的表示。 对于$s\in G$、集合$H_s= F\cap sHs^{-1}$，并用$\sigma_s(x) =\sigma (s^{-1}xs)$定义的N中$H_s$的$\sigma_s$表示表示。 a) 证明表示Res$^G_F$(Ind$^G_H(\sigma )$)对于$s\in S$同构于表示Ind$^F_{H_s}(\sigma_s)$的直和。 （用 $(M, \pi )$ 表示表示 Ind$^G_H(\sigma )$。 空间 M 可以用$\pi (x)N$ 的直和来识别$x\in G/H$。 对于$s\in S$，令$M(s)$为$\pi (x)N$与$x\in FsH$生成的M的子空间。 观察$M(s)$对于$x\in F/H_s$来说是子空间$\pi (xs)N$的直和，并从习题5推导出，b) 作为K[F]-模，$M(s)$同构于Ind$^F_{H_s}(\sigma_s).)$ b) 取F = H（这样我们有$H_s= H\cap sHs^{-1}$）。 证明表示 Ind$^G_H(\sigma )$ 是不可约的当且仅当$\sigma$ 不可约并且对于每个$s\in G$- H，表示 $\sigma_s$ 和 Res$^H_{H_s}(\sigma )$ 的支持度 (VIII, p. 66) 为不相交的（“Mackey 的标准”：应用 a) 和弗罗贝尼乌斯互易律)。

c) 假设H是正规的；则 Ind$^G_H(\sigma )$ 是不可约的，当且仅当 $\sigma$ 是不可约的，并且对于 $g\in G$- H 来说，它不与其任何共轭 $\sigma \circ$ int($g$) 同构的。