习题 10, § 3

设$\rho : A\rightarrow B$为环，同态用于将B视为右A-模。假设左B-模Hom$_A(B,A)$同构于$B_s$。

a) 令M为B-模，令$\varphi : B_s\rightarrow$Hom$_A(B,A)$为同构。证明从Hom$_B(M,B)$到Hom$_A(M,A)$的映射$u\mapsto \varphi (1)\circ u$是双射的。

b) 此外，假设 A-模 B 是有限生成的。 环 B 是自内射 (习题 8) 当且仅当 A 也成立。

c) 令 G 为有限群。证明当 B 被取为赋予环结构的 A-模 A[G] 时，满足上面的条件，使得对于 A 中的 $a, a'$ 和 G 中的$g, g'$ $(ae_g)(a'e_{g'}) =aa'e_{gg'}$。特别是，如果 K 是交换域，则代数 K[G] 是自内射的。