习题 5, § 3

设A为环。

a) 令 M, N 为单生A-模。证明以下性质是等价的：

(i) A-模 M 和 N 同构的。

(ii) 对于 M 的每个生成元 $m$，存在 N 的生成元 $n$，其湮没子与 $m$ 相同。

(iii) M 中存在生成元，N 中存在生成元，它们具有相同的湮没子。

b) 令$\mathfrak{a},\mathfrak{b}$为A的（左）理想。A-模$A/\mathfrak{a}$和$A/\mathfrak{b}$同构当且仅当存在A的元素$a$使得$Aa+\mathfrak{b}= A$和$\mathfrak{a}$是元素的集合 A 的$x$使得$xa\in \mathfrak{b}$（使用a））。

c) 设$\mathfrak{m}$和$\mathfrak{n}$为A的最大左理想。单A-模、$A/\mathfrak{m}$和$A/\mathfrak{n}$同构当且仅当存在A$-\mathfrak{n}$的元素$a$使得$\mathfrak{m}a\subset \mathfrak{n}$。 d) 从 b) 推导出 A-模 $A_s$ 同构于给定模的商 A-模的集合的基数小于 Card(A)。