习题 8, § 3

令 A 为环，使得 A-模 $A_s$ 和 $A_d$ 为有限长度。我们认同 $A_d$ 与 $A_s$ 的对偶。对于A的每个左理想$\mathfrak{s}$，$\mathfrak{s}$的正交$\mathfrak{s}^0$是A中$\mathfrak{s}$的右湮灭子；同样，对于每个右理想$\mathfrak{d}$，正交$\mathfrak{d}^0$是$\mathfrak{d}$的左湮没子。证明以下性质是等价的：

(i) 每个简单的（左或右）A-模都是自反的。

(ii) 任意（左或右）单A-模的对偶很简单。

(iii) 对于每个最小左理想$\mathfrak{s}$和每个最小右理想$\mathfrak{d}$，我们有$\mathfrak{s}^{00}=\mathfrak{s}$和$\mathfrak{d}^{00}=\mathfrak{d}$。

(iv) 映射$\mathfrak{s}\mapsto \mathfrak{s}^0$是从A的左理想集合到右理想集合的双射。

当这些性质成立时，我们说环 A 是自内射（cf. X, §1，p. 171，练习 26）。

a) 假设 A 是自内射的；设 M 是有限生成的（左或右）A-模。证明以下性质成立：

(i’) A-模 M 是自反的。

(ii’) $M^*$的长度等于M的长度。

(iii’) 对于 M 中的每子模 N，我们有 $N^{00}= N$。

(iv’)从M的子模集合到$M^*$的子模集合，映射$N\mapsto N^0$为双射。