习题 9, § 3

单A-模 S 的余长是 S 的对模的维数（超过域 End$_A(S)$）。如果有限长度的 A-模 M 承认一个 Jordan-Hölder 级数，且其连续商具有有限余长，我们就说有限长度的 A-模 M 具有有限余长；这些余长中的和称为M的余长，记为$\lambda (M)$。如果 N 是 M 的子模，则我们有 $\lambda (M) =\lambda (N) +\lambda (M/N)$。

令 A 为自内射环 (习题 8)，使得模 $A_s$ 和 $A_d$ 具有有限余长。如果对于每个单A-模 S，我们有 $\lambda (S) =\lambda (S^*)$，我们就说 A 是 Frobenius 环。

a) 令 M 为 A-模 / 有限长度。如果 A 是 Frobenius 环，那么我们有 $\lambda (M) =\lambda (M^*)$。此外，如果 A 是有限秩的代数超过交换域 K，则我们有暗淡$_K(M) =$暗淡$_K(M^*)$（使用习题 7）。

b) 令 K 为交换域，并令 A 为 $\mathbf{M}_6(K)$ 的子代数，其中基元素 $E_{11}+ E_{55}, E_{12}+ E_{56}, E_{21}+ E_{65}, E_{22}+ E_{66}, E_{33}+ E_{44}, E_{13}, E_{23}$、$E_{45}$ 和 $E_{46}$（其中 $E_{ij}$ 为矩阵单位） $\mathbf{M}_6(K)$）。证明 A 是自射代数，但不是 Frobenius 代数（观察 A 的最小左理想是 KE$_{13}+$ KE$_{23}$、KE$_{45}$ 和 KE$_{46}$，最小右理想是 KE$_{13}$， KE$_{23}$、KE$_{45}+$、KE$_{46}$）。