习题 8, § 4

设A为左诺特环。

a) 设$x$为A的非零元素。证明$x$的左湮没子安$x$不是必需的（在没有这个性质的元素中，取一个$x$使得安$x$极大，并考虑$Ax\cap$安$x$）。

b) 令$x$为A的右可消去元素。证明理想$Ax$是必要的（如果$\mathfrak{a}$是A的理想，使得$\mathfrak{a}\cap Ax= 0$，则考虑理想$\mathfrak{a}+\mathfrak{a}x+\mathfrak{a}x^2+. . .$）。

c) 从a)和b)推导出A的每个可撤销权利元素都是可撤销的。 d) 设$\mathfrak{a}$是包含非幂零元素的本质左理想。 证明$\mathfrak{a}$包含一个可取消的元素（令$(x_1, . . . , x_n)$为$\mathfrak{a}$满足安$x^2_i=$安$x_i$非零元素序列和$x_{i+1}\in$安） $x_i\cap \cdots \cap$安$x_1$对于每个$i\geqslant 1$；观察$\mathfrak{a}$包含直和的$Ax_i$。 推论存在这样的序列和$\bigcap_i$安$x_i= 0$；证明元素 $\sum x^2_i$ 是正确可消去的，并使用 c))。