习题 18, § 5

如果 G 中包含有限生成族的每个子群都是有限的，则群 G 被称为局部有限。

a) 设 G 为群，H 为 G 的法线子群。证明如果 H 和 $G/H$ 局部有限，则同样适用于 G。

b) 从 a) 推导出，一个可解的群其元素都是有限的阶是局部有限的。

c) 令 K 为 K 上的交换域、V 有限维向量空间，以及 Aut(V) 的 G 子群，它承认有限阶的元素的有限生成族由……组成。证明 G 的元素的阶有界。

（约化对于K是素数域P的纯超越扩张的情况，考虑由G的有限生成族系数生成的子域K。然后，证明对于有限阶的$\mathbf{G}\mathbf{L}_n(K)$的每个元素$s$，我们如果$P =\mathbf{Q}$则有$\varphi (s)\leqslant n$，如果$P =\mathbf{F}_p.$则有$s\leqslant p^n-1$) d) 证明Aut(V)的每个子群 H，其中元素都是有限的，阶是局部有限的。[^1]

（约化适用于 K 代数闭的情况，且使用归纳法在暗淡（V）上。令 G 为接纳有限生成族的 H 的子群。如果V是简单的 K[G]-模，则应用习题17；如果V 包含一个在 G 下稳定的非平凡子空间 W，考虑 Aut(V) $\times$ Aut(V$/W$) 中 G 的像，并应用 a) 和 b))。

[^1]: For every odd integer $n\geqslant 665$, there exists a group in which the order of every element divides $n$ but that is not locally finite; cf. S. I。 Adian，The Burnside 问题和群中的恒等式，Ergebnisse der Math。 95，施普林格出版社 (1979)。 当 $n\geqslant 2^{48}$ 和 $2^9$ 除 $n$ (cf. S. V。 Ivanov, On the Burnside problem for groups of even exponent, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). 博士。 数学。 1998，额外卷。 II，67–75）。