习题 2, § 5

Let K be a commutative field and A the subring of $\mathbf{M}_3(K)$ consisting of the matrices of the form

$a$ 0 0

$bc$ 0

0 0 $a$

对于 K 中的 $a, b, c$。令 M 为 A-模 $K^3$；它是子模$N = Ke_1+ Ke_2$和$P = Ke_3$中的直和。

a) 证明 M 是平衡的，典范映射 $A''_M\rightarrow A''_N$ (习题 1) 是单射但不是满射，典范映射 $A''_M\rightarrow A''_P$ 是满射但不是单射。

b) 在环 B 和直因子子模 R 上推导模 Q 的例，使得典范映射 $B''_Q\rightarrow B''_R$ 既不是单射也不是满射（取$B = A\times A$ 和$Q = M\times M$）。