习题 6, § 6

设 A 和 B 为环。假设给定

– 每A-模 M B-模 F(M) 且

– 对于 A-模 $u: M\rightarrow N$ 的每个同态，有一个 B 线性同态 $F(u) : F(M)\rightarrow F(N)$，

使得以下性质成立：

(i) 每 A-模 M 就有 $F(1_M) = 1_{F(M)}$。

(ii) 对于 $u\in$ Hom$_A(M,N)$ 和 $v\in$ Hom$_A(N,P)$，我们有 $F(v\circ u) = F(v)\circ F(u)$。

(iii) 对于 $u, v\in$ Hom$_A(M,N)$，我们有 $F(u+v) = F(u) + F(v)$。

a) 证明对于每个A-模 M，从End$_A(M)$到End$_B(F(M))$的映射$u\mapsto F(u)$是环同态。由此推导出$F(A_s)$上的$(B$，A)-双模结构。

b) 设M为A-模；对于$m\in M$，用$h_m: A_s\rightarrow M$同态$a\mapsto am$表示。证明从$F(A_s)\otimes_AM$到F(M)存在唯一的B-线性同态$\theta_M$，使得对于每个$x\in F(A_s)$和$m\in M$都有$\theta_M(x\otimes m) = F(h_m)(x)$。 A-模 $u: M\rightarrow N$ 中的每同态都有 $F(u)\circ \theta_M=\theta_N\circ (1_{F(A_s)}\otimes u)$。