习题 8, § 6

令$k$为交换环，A为$k$代数。

a) 证明可逆$(A,A)_k$-双模（No. 8）的同构类中的集合，赋予乘法律$[P][Q] = [P\otimes_AQ]$，为群； we denote it by $\mathscr{P}_k(A)$.

b) 令 G 为 $k$-代数 A 的自同构群；对于$g\in G$，我们用$A_g$左A-模$A_s$表示，并赋予右A-模结构，由$x\cdot a=x g(a)$定义。证明从G到$\mathscr{P}_k$(A)，映射$g\mapsto [A_g]$是群同态，核子群是内自同构。

c) 令Z为A的中心； 定义正合序列

如果代数 A 是可交换的，群 $\mathscr{P}_k(A)$ 是 G 和 $\mathscr{P}_A(A)$ 的半直积。