习题 12, § 7

令 A 为 A 的环和 $d$ 推导。将环 $A[D]_{1,d}$ (VIII, p. 11) 简单地表示为 A[D]。 A[D] 的每个元素 $P\not= 0$ 都可以唯一地写为 $\sum^m_{k=0}a_kD^k$ 与 $a_k\in A$ 和 $a_m\not= 0$；我们称 P 的 $m$ 次数和 $a_m$ 为它的首项系数。

a) 令$\mathfrak{b}$为A[D]的双面理想，令$n$为$\mathfrak{b}$的非零元素的次数的最小值。证明0的集合由……组成和次数$n$的$\mathfrak{b}$元素的首项系数是A的双面理想。

b) 假设环 A 是拟单，A 是$\mathbf{Q}$ 代数，并且推导 $d$ 不是内部推导 (III, §10, No. 6, p. 560)。证明环 A[D] 是拟单。

c) 假设 A 是特征零中的交换域以及 $d\not= 0$。证明 A[D] 的每个（左或右）理想都是单生的（考虑在这样的理想中最小次数的元素）。推断 A[D] 是左且有右诺特、拟单，并且没有零因子但没有包含任何最小右理想或左理想。