习题 15, § 7

设 A 为环。如果对于 A 的任何双边理想 $\mathfrak{a}$ 和 $\mathfrak{b}$，关系 $\mathfrak{a}\mathfrak{b}\subset \mathfrak{p}$ 意味着 $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{p}$ 或 $\mathfrak{b}\subset \mathfrak{p}$，则 A 的双边理想 $\mathfrak{p}$ 称为素数。

a) 证明当 A 是可交换的时，定义重合与I, §9, No. 3，p. 117 中给出的。

b) A 的双面理想 $\mathfrak{p}$ 是素数当且仅当对于 $A-\mathfrak{p}$ 的所有元素 $a$ 和 $b$，存在一个 $x\in A$ 使得 $axb \notin \mathfrak{p}$。