Exercice 15, § 7

Soit A un anneau. On dit qu’un idéal bilatère $\mathfrak{p}$ de A est premier si, quels que soient les idéaux bilatères $\mathfrak{a}$ et $\mathfrak{b}$ de A, la relation $\mathfrak{a}\mathfrak{b}\subset \mathfrak{p}$ implique $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{p}$ ou $\mathfrak{b}\subset \mathfrak{p}$.

a) Démontrer que lorsque A est commutatif, cette définition coïncide avec celle donnée en I, p. 111.

b) Pour qu’un idéal bilatère $\mathfrak{p}$ de A soit premier, il faut et il suffit que, quels que soient les éléments $a$ et $b$ de $A-\mathfrak{p}$, il existe $x\in A$ tel que $axb \notin \mathfrak{p}$.