习题 4, § 8

设 A 是其可取消元素 (cf. VIII, p. 75, 习题 8) 的半素数左诺特环 (习题 3) 和 S 集合。

a) 证明包含元素的每个非零的（左或右）理想不是幂零的。 （令$\mathfrak{a}$为幂零元的由……组成的右理想。令$x$为$\mathfrak{a}$的非零元素，其左湮没子最大。观察对于A的每个元素$a$和每个整数 $n\geqslant 1$使得$(xa)^n\not= 0$，$(xa)^n$的左边湮没子等于$x$，并推导出我们有$xax= 0.$）

b) 证明 S 允许 A 上的演算或左分式 (VIII, p. 18, 习题 18)。 （对于$a\in A$和$s\in S$，证明A的元素$x$的集合使得$xa\in As$是A的不可约左理想（VIII，p. 75，习题7）和利用得出a）并且习题 8, d) VIII, p. 75。)

c) 证明环$S^{-1}A$是半单（“Goldie的定理”[^1]）。 （令$\mathfrak{b}$为$S^{-1}A$的不可约左理想。证明$A\cap \mathfrak{b}$是A的不可约左理想，然后使用VIII、p. 75的习题8，d）证明$\mathfrak{b}= S^{-1}A$。 利用得出习题 7，VIII、p. 75 的 b)。）

[^1]: For other approaches to this result, see X, §1, p. 171, exercice 25 and Comm. 阿尔格., II, §2, p. 135, 习题 26.