习题 18, § 9

a) 设 A 为环，$\mathfrak{a}$ A 的两侧零理想，$(e_n)_{n\geqslant 1}$ $A/\mathfrak{a}$ 中幂等的正交序列。 证明 A 中存在幂等的正交序列 $(e_n)_{n\geqslant 1}$，使得对于每个 $n$，$e_n$ 是 $A/\mathfrak{a}$ 中 $e_n$ 的类。 （令$e$和$e'$为$A/\mathfrak{a},e'$中的两个正交幂等，在A中提升$e'$的幂等，并令$a$为A中$e$的代表。 观察到我们可以修改$a$以得到$ae'=e'a$，然后，如VIII、p. 159中的命题 7，得到$a^2=a.$） b) 设K为交换域，L不可数集合，A K-代数定义于之前的习题。 证明对于每个 $\lambda \in L$，满足 $e_{\lambda}\equiv c_{\lambda}$ (mod $\mathfrak{R}(A)$) 中不存在任何幂等正交族$(e_{\lambda})_{\lambda\in L}$。 （考虑元素 $(\lambda , \mu)$ $L\times L$ 的集合 H，使得 $c_{\lambda}(e_\mu-c_\mu) = 0$。 观察到集合 $H\cap (\{\lambda \} \times L)$ 对于每个 $\lambda \in L$ 都是有限的，集合 $H\cap (L\times \{\mu\})$ 对于每个 $\mu\in L.$ 都是有限的）