习题 3, 附录 0

令 E 为集合，并令 $f$ 为 E 中 $E \times E$ 的映射（“合成的内部律”）。令S为符号的集合，即E的不相交的并和单个元素$f$的集合由……组成。将 $n(f) = 1$ 和 $n(x) = 0$ 放入所有 $x \in E$。

(a) 令 M 为集合 / 有意义字 / $L_0(S)$。证明 M 有唯一映射 $v$ 到 E 满足以下条件 ： (1) $v(x) = x$ 对于所有 $x \in E$； (2) 如果$A$和$B$是两个有意义字，则$v(fAB) = f(v(A), v(B))$。

(b) 对于$L_0(S)$中的每个字$A = (s_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$，令$A^*$为字$(s_{i_k})$，其中$i_k$为指标$i$，使得$s_i \neq f$按升序排列序。如果$A^* = B^*$，则称$L_0(S)$中的两个字$A$、$B$相似。证明如果合成 $f$ 的律是结合律，即，如果

那么当$A$和$B$相似有意义字时$v(A) = v(B)$（“结合性的一般定理”）。 （显着字

如果 $i = 0, 2, 4, \ldots, 2n - 2$ 为 $s_i = f$，其他指标为 $s_i \neq f$，则据说是正常的。证明每个显着的字都与唯一的法线字 $A'$ 相似，并证明 $v(A) = v(A')$ 与归纳在 $A$ 的长度上。）