Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

附录

刻画的项与关系

正如我们在引言中所说，当元数学超越了当前章的初级水平时，它会大量利用数学结果。这个附录的目的是给出这个型的推理[^1]的简单例。我们将首先建立“自由半群”数学理论属于的某些结果；然后我们将在元数学“应用”中使用这些结果来获得理论中项与关系的刻画。

1. 符号与字

\* 令 S 为非空集合，其元素将被称为 signs （这个术语适合我们心目中的元数学应用）。设 $\mathrm{L}_0(\mathrm{S})$ 为S生成的自由半群； $\mathrm{L}_0(\mathrm{S})$ 的元素称为*字*，并与S的元素的有限序列 $A = (s_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ 标识。 $\mathrm{L}_0(\mathrm{S})$ 中的合成的律将被乘法写入，因此 $AB$ 是 $A$ 和 $B$ 并列得到序列。空的字 $\emptyset$ 是 $\mathrm{L}_0(\mathrm{S})$ 的单位元素。我们记得，字 $A \in \mathrm{L}_0(\mathrm{S})$ 的*长度* $l(A)$ 是序列 $A$ 中元素的数；因此 $l(AB) = l(A) + l(B)$ 和长度 1 的字是符号。让 $\mathrm{L}(\mathrm{S})$ 表示 $\mathrm{L}_0(\mathrm{S})$ 中非空字的集合。 ¶ 此外，假设我们将 S 的映射 $s \rightarrow n(s)$ 放入整数 $\geqslant 0$ 的集合 $\mathbf{N}$ 中。对于 L(S) 的每个非空字 $A = (s_i)_{0 \leqslant i \leqslant k}$ ，我们将

n(A) \;=\; \sum_{i=0}^{k} \, n(s_i)

和 $n(\emptyset) = 0$ 。 $n(A)$ 称为 $A$ 的*权*。显然 $n(AB) = n(A) + n(B)$ 。 ¶ 如果 $A = A'BA''$ ，字 $B$ 被称为 $A$ 的*段*（如果也是 $B \neq A$ ，则为*正确的*段）。如果 $A'$ （或 $A''$ ）为空，则 $B$ 被称为 $A$ 的*初始*（或*最终*）段。如果 $l(A') = k$ ，则 $B$ 从第 $(k+1)$ 位置开始。

¶ 如果 $A = BCDEF$ （其中字 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 可能为空）段、 $C$ 和 $A$ 的 $E$ 成为*不相交的*。

2. 有意义字

重要的序列 是 $\mathrm{L}_0(\mathrm{S})$ 的字中的任何序列 $(A_j)_{1 \leqslant j \leqslant n}$ 以及以下性质：对于序列的每个字 $A_i$ ，以下两个之一条件满意：

(1) $A_i$ 是权 0 的符号。

(2) 序列中存在 $p$ 字 $A_{i_1}$ 、 $A_{i_2}$ 、…、 $A_{i_p}$ ，且指标小于 $i$ ，且权的符号 $f$ $p$ 这样

A_i = f\, A_{i_1} A_{i_2} \, \ldots \, A_{i_p}.

出现在有意义的序列中的字称为*有意义字*。然后我们有：

命题 1 03P6

如果 $A_1$ 、 $A_2$ 、...、 $A_p$ 是 $p$ 有意义字并且 $f$ 是权 $p$ 的符号，则字 $f A_1 A_2 \ldots A_p$ 有意义。

被以下引用 1

被以下引用引理 2

3. 刻画 / 有意义字

如果字 $A \in \mathrm{L}_0(\mathrm{S})$ 具有以下两个属性，则称其为“平衡”：

(1) $l(A) = n(A) + 1$ （这意味着 $A$ 不为空）。

(2) 对于 $A$ 、 $l(B) \leqslant n(B)$ 的每个真初始线段 $B$ 。

命题 2 03P7

字当且仅当它是平衡时才是重要的。

被以下引用 1

被以下引用 App. 0. 附录

令 $A$ 成为显着字属于到显着序列

A_1, \; A_2, \; \ldots, \; A_n.

我们将通过归纳对 $k$ 证明每个 $A_k$ 是平衡的。假设这对于 $A_j$ 和指标 $j < k$ 成立，让我们证明它对于 $A_k$ 成立。如果 $A_k$ 是权 0 的符号（这是 $k = 1$ 时的唯一可能性）， $A_k$ 是平衡的，因为

l(A_k) = 1 \qquad \text{and} \qquad n(A_k) = 0.

如果 $A_k$ 不是权 0 的符号，则 $A_k = fB_1B_2 \ldots B_p$ ，其中 $f$ 是权 $p$ 的符号， $B_j$ 是形式 $A_{i_j}$ ，其中 $i_j < k$ ，因此通过电感假设平衡字。我们有

\begin{aligned} l(A_k) &= 1 + l(B_1) + l(B_2) + \cdots + l(B_p) \\ &= 1 + (n(B_1) + 1) + (n(B_2) + 1) + \cdots + (n(B_p) + 1) \\ &= 1 + p + n(B_1) + n(B_2) + \cdots + n(B_p) \\ &= 1 + n(A_k). \end{aligned}

令 $C$ 为 $A$ 的真初线段，并令 $q$ 为整数 $m < p$ 的最大的，使得 $B_m$ 是 $C$ 的线段，因此

C = f B_1 B_2 \ldots B_q D,

其中 $D$ 是 $B_{q+1}$ 的真初段。然后

\begin{aligned} l(C) &= 1 + l(B_1) + l(B_2) + \cdots + l(B_q) + l(D) \\ &\leqslant 1 + (n(B_1) + 1) + (n(B_2) + 1) + \cdots + (n(B_q) + 1) + n(D) \\ &\leqslant p + n(B_1) + \cdots + n(B_q) + n(D) = n(C). \end{aligned}

因此 $A_k$ 是平衡的。

¶ 相反，为了证明每个平衡的字都是显着的，我们需要以下两个引理：

引理 1 03P8

设 A 为平衡的字。那么对于每个整数 k 使得 $0 \leqslant k < l(A)$ 恰好存在 A 的一个平衡线段 S，它从第 $(k + 1)$ 位置开始。

被以下引用 1

被以下引用引理 2

$S$ 的唯一性是以下注的直接的推论：如果 $T$ 是平衡的字，则到定义没有适当的 $T$ 的初始段被平衡。让我们证明 $S$ 的存在性。在 $l(B) = k$ 处写下 $A = BC$ 。对于每个 $i$ 使得 $0 \leqslant i \leqslant q = l(C)$ ，令 $C_i$ 为长度 $i$ 的 $C$ 的初始段。由于 $B$ 是 $A$ 的真初段，我们有

l(C_q) = l(A) - l(B) \geqslant n(A) + 1 - n(B) = n(C_q) + 1.

另一方面，我们有 $0 = l(C_0) \leqslant n(C_0) = 0$ 。令 $i$ 为整数 $j < q$ 的最大的，使得 $l(C_h) \leqslant n(C_h)$ 对应 $0 \leqslant h \leqslant j$ ；那么我们就有 $l(C_i)\leq n(C_i)$ 和 $l(C_{i+1})\geq n(C_{i+1})+1$ 。我们证明 $C_{i+1}$ 是平衡的：与原初段有关的条件由于 $i$ 的定义而得到满足；另一方面，我们有

n(C_{i+1})+1\leq l(C_{i+1})=l(C_i)+1\leq n(C_i)+1\leq n(C_{i+1})+1,

这样引理 1 的 $l(C_{i+1})=n(C_{i+1})+1$ 和证明就完整了。

引理 2 03GT

每个平衡的字 $A$ 都可以放入形式

A=fA_1A_2\ldots A_p,

引用了 2

引用了引理 1, 命题 1

其中 $A_i$ 是平衡的， $n(f)=p$ 是平衡的。

设 $f$ 为 $A$ 的初始符号。由引理 1， $A$ 可以写成

fA_1A_2\ldots A_p,

其中 $A_i$ 是平衡的：我们只需要定义 $A_i$ 作为 $A$ 的平衡段，从第 $k(i)$ 开始，其中

k(i)=2+\sum_{j<i}l(A_j).

此外，我们还有

1+l(A_1)+\ldots+l(A_p)=l(A)=n(A)+1

=n(f)+n(A_1)+\ldots+n(A_p)+1

=n(f)+(l(A_1)-1)+\ldots+(l(A_p)-1)+1,

由此得出 $n(f)=p$ 。

¶ 现在两个引理已经被证明了，通过 $A$ 的长度上的归纳显然，由于引理2和命题1，每个平衡的字 $A$ 都是显着的。

推论 1 03GU

让 $A$ 成为重要的字。对于每个整数 $k$ ，使得 $0\leq k<l(A)$ 恰好有一个从第 $(k+1)$ 位置开始的 $A$ 的重要部分。

推论 2 03GV

每个重要的字都可以用一种方式写成形式 $fA_1A_2\ldots A_p$ ，其中 $A_i$ 是重要的，而 $n(f)=p.$

被以下引用 2

被以下引用 App. 0. 附录, 习题 1, § 2

4. 组合在数学理论中的应用

假设集合 S 是数学理论 $\mathscr{T}$ 的符号集合。我们为每个字母 $x$ 放置 $n(\square)=0$ 、 $n(\tau)=n(\eta)=1$ 、 $n(\vee)=2$ 、 $n(x)=0$ ；

最后，对于 $\mathscr{T}$ 的每个特定符号 $s$ ， $n(s)$ 是 $s$ 的权，当给出 $\mathscr{T}$ 时，这是固定的。

¶ 令 $A$ 为 $\mathscr{T}$ 中的组件。我们用删除 $A$ 中的链接获得的 $A^*$ 字表示，如果 $A^*$ [在 $L_0(S)$ ]平衡，我们可以说 $A$ 是*平衡的*。 $A$ 的*段*是由替换在 $A^*$ 的段 $S$ 中获得的任何集合，这些链接在 $A$ 中连接 $S$ 中的符号的对。

标准 1. 如果 $\mathscr{T}$ 中的 $A$ 为项或关系，则 $A$ 平衡。

设 $A_1$ 、 $A_2$ 、 $\ldots$ 、 $A_n$ 为 $\mathscr{T}$ 中的构成构造，其中出现 $A$ 。让我们通过归纳论证，并假设我们已经证明了指标 $j<i$ 的 $A_j$ 是平衡的；那么我们必须证明 $A_i$ 是平衡的。证明与命题 2 的证明的第一个部分一样，除非 $A_i$ 是形式 $\tau_x(B)$ 以及 $B=A_j$ 和 $j<i$ 。在这种情况下，令 $C$ 为替换 $x$ 获得的集合，无论它出现在 $B$ 中的任何位置，由 $\square$ 获得。字 $A^*$ 与 $\tau C^*$ 相同；现在 $B^*$ 是平衡的，因而 $C^*$ 是平衡的（因为 $n(\square)=n(x)=0$ ）。因而 $A_i^*$ 是平衡的。

¶ 因而，我们获得了将 $\mathscr{T}$ 中的装配所必需的条件为项或关系。但正如我们将看到的，这个条件还不够。

¶ 设 $A$ 为 $\mathscr{T}$ 的平衡装配。如果 $A$ 以字母或 $\square$ 开头，则 $A$ 必须仅由该符号组成（命题 2，推论 2）。对于所有其他情况，我们现在将定义装配或组合*先行词*到 $A$ 。

(1) 如果 $A$ 以 $\land$ 、 $\vee$ 或特定符号开头，则 $A^*$ 可以完全以一种方式放入形式 $fB_1B_2\ldots B_p$ ，其中 $f$ 是权 $p\geq 1$ 的符号，并且 $B_i$ 是平衡的（命题2，推论 2）。 $A$ 的段 $A_1$ 、 $A_2$ 、 $\ldots$ 、 $A_p$ ，其中对应至段 $B_1$ 、 $B_2$ 、 $\ldots$ 、 $A^*$ 的 $B_p$ 被称为组合 先行词到 $A$ 。 Moreover, we shall say that $A$ is perfectly balanced if $A$ is identical with

fA_1A_2\ldots A_p,

在其他字中，如果 $A$ 中没有链接将 $f$ 连接到 $B_i$ 之一，或连接两个不同的 $B_i$ 。

(2) 如果 $A$ 以 $\tau$ 开头，则 $A^*$ 为形式 $\tau B$ ，其中 $B$ 是平衡的（命题 2，推论 2）。在这种情况下， $A$ 的先行汇编是组合 $A_1$ 中的任何一个，定义如下：替换 $B$ 中的符号 $\square$ ，它们在 $A$ 中通过字母 $x$ 链接到初始 $\tau$ ，与出现在中的其他字母不同 $B$ 和替换将 $B$ 的两个符号连接到 $A$ 。（如果我们用一个也没有出现在 $B$ 中的字母 $y$ 代替 $x$ ，我们得到的组件就是 $(y|x)A_1$ 。）此外，如果 $A$ 与 $\tau_x(A_1)$ 相同，我们可以说 $A$ 是*完美平衡的*，在其他情况下，如果没有链接将初始 $\tau$ 与 $B$ 的任何符号（ $\square$ 除外）连接起来，则为字。

¶ 我们现在可以陈述以下标准：

C2。 设 $A$ 是 $\mathscr{T}$ 的平衡装配。

¶ 要使 $A$ 成为项，满足以下条件之一是必要且充分的： (1) $A$ 由单个字母组成； (2) $A$ 以 $\tau$ 开头，是完美平衡的，它的先行词组合是关系（通过CF8，足以验证*一个*先行词集合是关系）； (3) $A$ 以实质符号开始，是完全平衡的，其先行词组合是项。 ¶ 对于 $A$ 为关系，满足以下条件之一是必要且充分的： (1) $A$ 以 a 开头 $\vee$ 或 $\neg$ ，是完美平衡的，它的先行词组合是关系； (2) $A$ 以关系符号开始，是完美平衡的，它的先行词组合是项。

判据 CF1 到 CF4 (§ 1, no. 4) 表明条件就足够了。让我们证明它们是必要的。我们已经看到（§ 1, no. 3），如果 $A$ 是关系，那么 $A$ 以 $\vee$ 、 $\neg$ 或关系符号开始。推理在这三种情况下都是相似的。如果对于例， $A$ 以 $\vee$ 开头，则 $A$ 为形式 $\vee BC$ ，其中 $B$ 和 $C$ 为关系，因此 $B$ 和 $C$ 为组合 $A$ 的先行词；因此 $A$ 是完美平衡的。如果 $A$ 是项，那么有两种情况：它由单个字母组成，或者它以实数符号或 $\tau$ 开头。对于第二种情况，我们的论证如上。如果 $A$ 以 $\tau$ 开头，则构成构造的定义表明 $A$ 是形式 $\tau_x(B)$ ，其中 $B$ 是关系， $x$ 是一个字母，这样我们就可以取 $B$ 作为 $A$ 的先决组装，并且 $A$ 是完美平衡的。

当我们想要测试 $\mathscr{T}$ 中给定的组合 $A$ （不是单个字母的由……组成）是否为关系（或项）时，我们首先验证 $A$ 是否平衡，并且它以 $\vee$ ， $\neg$ 或关系符号（或以a开头） $\tau$ 或实质符号）。然后我们形式先行集合或组合，并验证（如果适用） $A$ 完美平衡。完成此操作后，我们留下了与较短的组合相关的类似问题。因此，一步一步地，我们得出组合，每个组合都由一个符号组成，其中解是直接的。

注 03GW

除了在公理方面特别薄弱的某些数学理论（cf. 习题 7）之外，我们没有型的一般过程来使我们能够测试理论 $\mathscr{T}$ 中的给定关系 $R$ 是否是 $\mathscr{T}$ 中的定理。

引用了 1

引用了习题 7, 附录 0

习题

参见习题附录 0。

[^1]: The results established in this Appendix will not be used anywhere else in this series.