Bourbaki

习题 8, 附录 0

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集合论, I, 63

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 R1R_1, R2R_2, ..., RnR_n 为理论 T\mathscr{T} (习题 6) 中逻辑上不可约的关系。为每个关系 RiR_i 分配一个符号 0,1,20, 1, 2。对于具有基 R1R_1、R2R_2、...、RnR_n 的逻辑构造中的每个关系，我们根据以下符号规则 (习题 7) 分配符号 0、1、2 之一：

¬0=1,¬1=0,¬2=2;\neg 0 = 1, \qquad \neg 1 = 0, \qquad \neg 2 = 2;
∨00=∨01=∨02=∨10=∨20=∨22=0;\vee 00 = \vee 01 = \vee 02 = \vee 10 = \vee 20 = \vee 22 = 0;
∨11=1,∨12=∨21=2.\vee 11 = 1, \qquad \vee 12 = \vee 21 = 2.

(a) 如果 RR 是由 R1R_1, R2R_2, ..., RnR_n 逻辑构造而成，RR 所携带的符号独立于逻辑构造，其中基 R1R_1, R2R_2, ..., RnR_n，其中出现RR。

(b) 假设 T\mathscr{T} 的唯一公理是由概形 S2、S3、S4 提供的公理。令 T\mathscr{T} 中的 RR 为定理。然而，证明符号 0、1、2 被分配给 RR 的逻辑分量，RR 所携带的相应的符号为 0。另一方面，如果 SS 逻辑上不可约且符号为 2，则 (S(S 或 S)⇒SS) \Rightarrow S 所携带的符号为 2。 推出T\mathscr{T}不等价于与T\mathscr{T}具有相同符号且其公理由概形 S1、S2、S3、S4提供的理论。

(c) 为仅基于概形 S1、S3、S4 或基于概形 S1、S2、S4 的理论建立类似结果。 （分别使用以下规则：

¬0=1,¬1=0,¬2=2,∨00=∨01=∨10=∨02=∨20=0,\neg 0 = 1, \quad \neg 1 = 0, \quad \neg 2 = 2, \quad \vee 00 = \vee 01 = \vee 10 = \vee 02 = \vee 20 = 0,
∨11=1,∨12=∨21=1,∨22=1;\vee 11 = 1, \qquad \vee 12 = \vee 21 = 1, \qquad \vee 22 = 1;
¬0=1,¬1=2,¬2=0,\neg 0 = 1, \qquad \neg 1 = 2, \qquad \neg 2 = 0,
∨00=∨01=∨10=∨02=∨20=∨21=0,\vee 00 = \vee 01 = \vee 10 = \vee 02 = \vee 20 = \vee 21 = 0,
∨11=∨12=1,∨22=2.)\vee 11 = \vee 12 = 1, \qquad \vee 22 = 2.)

(d) 为仅基于概形 S1、S2、S3 的理论建立类似结果。 （使用四个符号 0、1、2、3 和以下规则：

¬0=1,¬1=0,¬2=3,¬3=0,\neg 0 = 1, \qquad \neg 1 = 0, \qquad \neg 2 = 3, \qquad \neg 3 = 0,
∨00=∨01=∨10=∨02=∨20=∨03=∨30=∨23=∨32=0,\vee 00 = \vee 01 = \vee 10 = \vee 02 = \vee 20 = \vee 03 = \vee 30 = \vee 23 = \vee 32 = 0,
∨11=1,∨12=∨21=∨22=2,∨13=∨31=∨33=3.)\vee 11 = 1, \qquad \vee 12 = \vee 21 = \vee 22 = 2, \qquad \vee 13 = \vee 31 = \vee 33 = 3.)
解答

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