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3. 逻辑理论

1. 公理

逻辑理论是任何理论$\mathscr{T}$，其中概形下面的S1到S4提供隐式公理。

S1。 如果$A$在$\mathscr{T}$中为关系，则关系$(A$或$A) \Rightarrow A$是$\mathscr{T}$ [^1]的公理。

S2。 如果$A$和$B$在$\mathscr{T}$中是关系，则关系$A \Rightarrow (A$或B)是$\mathscr{T}$的公理。

S3。 如果$A$和$B$在$\mathscr{T}$中是关系，则关系$(A$或$B) \Rightarrow (B$或A)是$\mathscr{T}$的公理。

S4。 如果$A$、$B$、$C$在$\mathscr{T}$、关系中为关系

是$\mathscr{T}$的公理。

这些规则实际上是概形；让我们验证一下，S2 的例。设$R$为应用S2得到的关系；那么$\mathscr{T}$中有关系$A$和$B$，使得$R$是关系$A \Rightarrow (A$或B）。令$\mathscr{T}$中$T$为项，令$x$为字母，令$A'$和$B'$为关系$(T|x)A$和$(T|x)B$；则$(T|x)R$与$A' \Rightarrow (A'$或$B')$相同，因此可以通过应用S2获得。

直观上，规则S1到S4仅仅表达了字通常的数学语言[^2]中“或”和“暗示”的含义。

如果逻辑理论$\mathscr{T}$是矛盾的，*$\mathscr{T}$中的每个关系都是$\mathscr{T}$中的定理。*因为让$A$是$\mathscr{T}$中的关系，这样$A$和“不是$A$”是$\mathscr{T}$中的定理，并令$B$为$\mathscr{T}$中的任意关系。通过S2，（不是$A$）$\Rightarrow$（（不是$A$）或$B$）在$\mathscr{T}$中等于定理；因此，通过C1（§ 2, no. 2），“（不是$A$）或$B$”，即$A \Rightarrow B$，是$\mathscr{T}$中的定理。 C1 的第二次应用显示 $\mathscr{T}$ 中的 $B$ 是定理。

¶ 从现在开始$\mathscr{T}$将表示逻辑理论。

2. 第一推论

C6。 令$\mathscr{T}$中的$A$、$B$、$C$为关系。如果$A \Rightarrow B$和$B \Rightarrow C$在$\mathscr{T}$中是定理，则$A \Rightarrow C$在$\mathscr{T}$中是定理。

因为$(B \Rightarrow C) \Rightarrow ((A \Rightarrow B) \Rightarrow (A \Rightarrow C))$是$\mathscr{T}$的公理，在S4中，替换，$A$由$B$，$B$由$C$，$C$由“不是$A$”。通过 C1 (§ 2, no. 2)，$(A \Rightarrow B) \Rightarrow (A \Rightarrow C)$ 是 $\mathscr{T}$ 中的定理。进一步应用 C1 完成证明。

C7。 如果$A$和$B$在$\mathscr{T}$中为关系，则$B \Rightarrow (A$或B)在$\mathscr{T}$中为定理。

对于$B \Rightarrow (B$或A)和$(B$或$A) \Rightarrow (A$或B)来说，根据S2和S3是$\mathscr{T}$的公理。现在使用C6。

C8。 如果$\mathscr{T}$中$A$是关系，则$A \Rightarrow A$在$\mathscr{T}$中是定理。

对于 $A \Rightarrow (A$ 或 A) 和 $(A$ 或 $A) \Rightarrow A$ 是公理，由 S2 和 S1 得出。现在使用C6。

C9。 如果$\mathscr{T}$中$A$是关系且$B$定理，则$A \Rightarrow B$在$\mathscr{T}$中是定理。

对于$B \Rightarrow ((\text{not } A)$或B)来说，C7乘以定理，因此“（不是$A$）或$B$”，即$A \Rightarrow B$，C1乘以定理。

C10。 如果$A$在$\mathscr{T}$中是关系，则“$A$或（不是$A$）”在$\mathscr{T}$中是定理。

对于“（不是$A$）或$A$”，C8 为定理；现在使用S3和C1。

C11。 如果$A$在$\mathscr{T}$中为关系，则“$A \Rightarrow$（不是$A$）”在$\mathscr{T}$中为定理。

对于这个关系是“（不是$A$）或（不是$A$）”，结果来自C10。

C12。 令$A$和$B$为$\mathscr{T}$中的两个关系。然后关系

是 $\mathscr{T}$ 中的定理。

对于

是定理，由 C11、S4 和 C1 组成。另一方面，

是 S3 的公理。因此

是 C6 的定理。于是就有了这样的结果。

C13。 令$\mathscr{T}$中的$A$、$B$、$C$为关系。如果$A \Rightarrow B$在$\mathscr{T}$中是定理，那么$(B \Rightarrow C) \Rightarrow (A \Rightarrow C)$在$\mathscr{T}$中是定理。

对于 $(\text{not } B) \Rightarrow (\text{not } A)$ 来说，由 C12 和 C1 得到定理。因此，通过 S4 和 C1，$(C \text{ or } (\text{not } B)) \Rightarrow (C \text{ or } (\text{not } A))$ 为定理。通过双应用S3和C6我们推断

是定理；但这是给定的关系。

¶ 从现在开始，我们通常会使用 C1 和 C6 而不明确引用它们。

3. 证明方法

I。 辅助假设的方法。这取决于以下规则：

C14（*演绎* 的标准）。 设$\mathscr{T}$中$A$为关系，$\mathscr{T}'$为$\mathscr{T}$的$A$与公理邻接所得的理论。如果$B$在$\mathscr{T}'$中是定理，则$A \Rightarrow B$在$\mathscr{T}$中是定理。

令$B$出现的$\mathscr{T}'$中的$B_1$、$B_2$、…、$B_n$为证明。我们将逐步证明关系$A \Rightarrow B_k$是$\mathscr{T}$中的定理。假设这对于$B_i$之前的关系成立，让我们证明$A \Rightarrow B_i$在$\mathscr{T}$中是定理。如果$B_i$是$\mathscr{T}'$的公理，那么$B_i$要么是$\mathscr{T}$的公理，要么是$A$。在这两种情况下，$A \Rightarrow B_i$ 是 $\mathscr{T}$ 应用 C9 或 C8 中的定理。如果$B_i$前面有关系、$B_j$和$B_j \Rightarrow B_i$，我们就知道$A \Rightarrow B_j$和$A \Rightarrow (B_j \Rightarrow B_i)$是$\mathscr{T}$中的定理。因此，$(B_j \Rightarrow B_i) \Rightarrow (A \Rightarrow B_i)$ 是 C13 的 $\mathscr{T}$ 中的定理。因此，对于C6来说，$A \Rightarrow (A \Rightarrow B_i)$，即“$(\text{not } A)$或$(A \Rightarrow B_i)$”，在$\mathscr{T}$中是定理，因此对于S3来说，“$(A \Rightarrow B_i)$或$(\text{not } A)$”也是如此。现在，$(\text{not } A) \Rightarrow ((\text{not } A) \text{ or } B_i)$，即$(\text{not } A) \Rightarrow (A \Rightarrow B_i)$，是 S2 的$\mathscr{T}$中的定理。通过应用 S4 我们可以看到

是$\mathscr{T}$中的定理，因此“$(A \Rightarrow B_i)$或$(A \Rightarrow B_i)$”是$\mathscr{T}$中的定理。到 S1 时，我们结论 $A \Rightarrow B_i$ 是 $\mathscr{T}$ 中的定理。

在实践中，我们将通过诸如“假设 $A$ 为真”之类的短语来表明我们将使用此标准。这句话的意思是，推理暂时会在$\mathscr{T}'$理论中进行，直到关系$B$被证明为止。当实现这一点时，就可以确定$\mathscr{T}$中的$A \Rightarrow B$是定理，并且此后继续在$\mathscr{T}$中进行推理，而一般不会表明人们已经放弃了$\mathscr{T}'$理论。作为新公理引入的关系$A$称为*辅助假设*。 \* 对于例，当我们说“让$x$是实数”时，我们正在构建一个理论，其中关系“$x$是实数”是辅助假设。 \*

II。 归谬法的方法。这是建立在以下规则之上的：

C15。 设$\mathscr{T}$中的$A$为关系，并令$\mathscr{T}'$为通过将公理“不是$A$”*与$\mathscr{T}$的公理邻接而获得的理论。如果$\mathscr{T}'$矛盾，那么$A$就是$\mathscr{T}$中的定理。*

对于 $A$ 来说，$\mathscr{T}'$ 中有定理；因而，（辅助假设的方法）“（不是$A$）$\Rightarrow A$”在$\mathscr{T}$中是定理。到了S4，

$\mathscr{T}$ 中有定理；通过C10，“$A$或$A$”是$\mathscr{T}$中的定理。现在使用S1。

在实践中，我们将通过诸如“假设 $A$ 为假”之类的短语来表明我们将使用此标准。这句话的意思是，推理暂时在$\mathscr{T}'$理论中进行，直到形式$B$中的两个定理和“不是$B$”被证明为止。当实现这一点后，就可以确定$\mathscr{T}$中的$A$是定理，这通常用诸如“现在这个（即前面的记号、$B$和“不是$B$”）是荒谬的；因而$A$是真的”这样的短语来表示。然后继续原来的理论$\mathscr{T}$。

¶ 作为这些方法的首次应用，让我们建立以下判据 ：

C16。 如果$A$在$\mathscr{T}$中是关系，则（不是$A$）$\Rightarrow A$ 在$\mathscr{T}$中是定理。

假设“not not $A$”为真；那么我们必须证明$A$。假设 $A$ 为假。在这样定义的理论中，“非非$A$”和“非$A$”是定理，这是荒谬的；因而 $A$ 为真。

C17。 如果$A$和$B$在$\mathscr{T}$中是关系，那么

$\mathscr{T}$等于定理。

假设 $(\text{not }B) \Rightarrow (\text{not }A)$ 为真。我们必须证明 $A \Rightarrow B$ 是正确的。假设 $A$ 为真，让我们证明 $B$ 为真。假设“not $B$”为真。那么“not $A$”就是真的，这是荒谬的。

III。 方法案例分离。这取决于以下规则：

C18。 令$\mathscr{T}$中的$A$、$B$、$C$为关系。如果“$A$或$B$”$A \Rightarrow C$、$B \Rightarrow C$在$\mathscr{T}$中为定理，则$C$在$\mathscr{T}$中为定理。

因为，到了S4，“$(A\text{ or }B) \Rightarrow (A\text{ or }C)$”和“$(C\text{ or }A) \Rightarrow (C\text{ or }C)$”在$\mathscr{T}$中是定理。通过S3和S1，可以得出$(A\text{ or }B) \Rightarrow C$在$\mathscr{T}$中是定理；因此结果。

To prove $C$ it is therefore enough, when we have at our disposal a theorem “$A$ or $B$”, first to prove $C$ by adjoining $A$ to the axioms of $\mathscr{T}$, and then to prove $C$ by adjoining $B$ to the axioms of $\mathscr{T}$. 这个方法的有趣特征在于，如果“$A$或$B$”为真，我们不能一般断言$A$为真或$B$为真。

特别地，通过C10，如果“$A \Rightarrow C$”和“$(\text{not }A) \Rightarrow C$”在$\mathscr{T}$中都是定理，则$C$在$\mathscr{T}$中是定理。

IV。 辅助常数的方法。这是基于以下规则：

C19。 令$x$为字母，并令$A$和$B$为$\mathscr{T}$中的关系，这样：

(1) 字母$x$不是$\mathscr{T}$的常数，并且不会出现在$B$中； (2) $\mathscr{T}$中有项$T$，使得$(T|x)A$在$\mathscr{T}$中有定理。

令$\mathscr{T}'$为将$\mathscr{T}$的$A$与公理邻接而得到的理论。如果$B$在$\mathscr{T}'$中是定理，则$B$在$\mathscr{T}$中是定理。

事实上，$A \Rightarrow B$ 是$\mathscr{T}$ 中的定理（演绎的标准）。由于$x$不是$\mathscr{T}$的常数，因此根据C3，$(T|x)(A \Rightarrow B)$在$\mathscr{T}$中等于定理。由于$x$没有出现在$B$中，所以通过CS5（§ 1, no. 2），$(T|x)(A \Rightarrow B)$与$((T|x)A) \Rightarrow B$相同。最后，$(T|x)A$在$\mathscr{T}$中是定理，因此$B$也是如此。

直观上，方法在于在序中使用任意对象$x$（*辅助常量*）来证明$B$，该对象应该被赋予某些属性，用$A$表示。 \* 对于例，在几何中的证明中，除其他外，还涉及线$D$，我们可以在这条线上“取”点$x$； 关系$A$则为$x \in D$。 \* 在序中，人们应该能够在证明的过程中使用被赋予某些属性的对象，显然这样的对象应该存在。 定理$(T|x)A$，称为合法性*定理，保证了这种存在。

在实践中，我们将通过诸如“让$x$成为一个对象，使得$A$”之类的短语来使用这个方法。与助词假设的方法相比，论证的结论不涉及$x$。

4. Conjunction

设$A$，$B$为组合。大会

将用“$A$和$B$”表示。

CS6。 令 $A$、$B$、$T$ 为组合，$x$ 为字母。 然后组装

与“$(T|x)A$和$(T|x)B$”相同。

这是 CS5 (§ 1, no. 2) 的直接的推论。

CF9。 如果$A$、$B$在$\mathscr{T}$中为关系，则“$A$和$B$”在$\mathscr{T}$中为关系（称为$A$和$B$的合取）。

这紧接着 CF1 和 CF2 (§ 1, no. 4)。

C20。 如果$A$、$B$在$\mathscr{T}$中为定理，则“$A$和$B$”在$\mathscr{T}$中为定理。

假设“$A$和$B$”为假，也就是说，

是真的。 由C16可知“$(\text{not } A)$或$(\text{not } B)$”，即$A \Longrightarrow (\text{not } B)$为真，因此“非$B$”为真；但这是荒谬的。 因此“$A$和$B$”为真。

C21。 如果$A$、$B$在$\mathscr{T}$中是关系，则

定理位于 $\mathscr{T}$ 中。

关系 $(\text{not } A) \Longrightarrow ((\text{not } A) \text{ or } (\text{not } B))$、$(\text{not } B) \Longrightarrow ((\text{not } A) \text{ or } (\text{not } B))$ 是 $\mathscr{T}$ 中的定理，由 S2 (no. 1) 和 C7 (no. 2) 组成。 现在 C11 的 $\mathscr{T}$ 中的 $((\text{not } A) \text{ or } (\text{not } B)) \Longrightarrow (\text{not } (A\text{ and }B))$ 是定理。 因此$(\text{not } A) \Longrightarrow (\text{not } (A\text{ and }B))$、$(\text{not } B) \Longrightarrow (\text{not } (A\text{ and }B))$在$\mathscr{T}$中是定理。 结果是应用 C17。

¶ 我们将用“$A$和$B$和$C$”（分别是“$A$或$B$或$C$”）关系“$A$和（$B$和$C$）”（分别表示） “$A$或（$B$或$C$）”）。更一般地说，如果

是关系，我们用“$A_1$和$A_2$，以及...和$A_p$”来表示关系，这是按照“$A_1$和$A_2$以及...和$A_h$”与“$A_1$”表示相同的关系的约定逐步构建的和（$A_2$ 和...和 $A_h$）”。 关系“$A_1$或$A_2$或...或$A_h$”的定义类似。 关系“$A_1$和$A_2$和...和$A_h$”在$\mathscr{T}$中是定理当且仅当关系$A_1$、$A_2$、...、$A_h$中的每一个在定理中$\mathscr{T}$。

由此可见，每个逻辑理论$\mathscr{T}$等价于一个至多有一个显式公理的逻辑理论$\mathscr{T}'$。如果 $\mathscr{T}$ 没有明确的公理，这一点是清楚的。如果 $\mathscr{T}$ 具有显式公理 $A_1$、$A_2$、...、$A_h$，则令 $\mathscr{T}'$ 为与 $\mathscr{T}$ 具有相同符号和概形的理论，以及显式公理“$A_1$ 和 $A_2$ 和 ... ” $A_h$”。立即可见，$\mathscr{T}$（或$\mathscr{T}'$）的每个公理都是$\mathscr{T}'$（或$\mathscr{T}$）的定理。

令$\mathscr{T}_0$为无显式公理的理论，其符号与$\mathscr{T}$相同，且S1、S2、S3、S4为其唯一的概形。然后研究原理中的$\mathscr{T}$约化，再到$\mathscr{T}_0$的研究：对于$\mathscr{T}$中的关系$A$为定理，存在公理$A_1$，$A_2$，...是充分必要的， $\mathscr{T}$的$A_h$使得$(A_1$和$A_2$以及...和$A_h) \Rightarrow A$是$\mathscr{T}_0$中的定理。这个条件显然已经足够了。反过来假设$A$是$\mathscr{T}$中的定理，令$A_1$、$A_2$、...、$A_h$为$\mathscr{T}$中证明中出现的$\mathscr{T}$的公理，则包含$A$。令$\mathscr{T}'$（或$\mathscr{T}''$）是从$\mathscr{T}_0$通过邻接公理$A_1$、$A_2$、...、$A_h$（分别是公理“$A_1$和$A_2$和...”构建的理论$A_h$”）。 $\mathscr{T}$中$A$的证明是$\mathscr{T}'$中$A$的证明，因而$A$在$\mathscr{T}'$中是定理，因此在$\mathscr{T}''$中，因为（如上所述） $\mathscr{T}'$ 和 $\mathscr{T}''$ 等效。根据演绎、$(A_1$和$A_2$以及...的标准，$A_h) \Rightarrow A$在$\mathscr{T}_0$中为定理。

如果$\mathscr{T}$是矛盾的，那么从前面所说的可知，在$\mathscr{T}$中存在$\mathscr{T}$和关系$R$的公理合取$A$，使得$A \Rightarrow (R$和（不是$R$））是定理在$\mathscr{T}_0$。因而

在$\mathscr{T}_0$中是定理，并且由于“（不是$R$）或（不是$R$）”在$\mathscr{T}_0$中是定理，所以“不是$A$”在$\mathscr{T}_0$中是定理。相反，如果存在$\mathscr{T}$的公理合取$A$，使得$\mathscr{T}_0$中的“非$A$”为定理，则$A$和“非$A$”在$\mathscr{T}$中为定理，因此$\mathscr{T}$是矛盾的。

5. 等价

令$A$和$B$为组合。大会

将用$A \Leftrightarrow B$表示。

CS7。 令$A$、$B$、$T$为组合，并令$x$为字母。那么组装$(T|x)(A \Leftrightarrow B)$与$(T|x)A \Leftrightarrow (T|x)B$相同。

这紧接着 CS5 (§ 1, no. 2) 和 CS6 (no. 4)。

CF10。 如果$A$和$B$在$\mathscr{T}$中是关系，则$A \Leftrightarrow B$在 T中是关系。

这紧接着 CF5 (§ 1, no. 4) 和 CF9 (no. 4)。

¶ 如果$\mathscr{T}$中的$A \Leftrightarrow B$是定理，我们可以说$A$和$B$在$\mathscr{T}$中“等价”；如果$x$是一个不是$\mathscr{T}$常数的字母，并且如果$A$和$B$被视为$x$中的关系，则$\mathscr{T}$中每个满足一个的项也满足另一个。

¶ 由判据 C20, C21 (no. 4)可知，在序中，要证明形式 $A \Leftrightarrow B$的$\mathscr{T}$中的定理，必须且充分能够证明$A \Rightarrow B$和$B \Rightarrow A$ $\mathscr{T}$。这通常是由 $\mathscr{T}$ 与公理 $A$ 推导的理论中的证明 $B$ 完成的，然后是由 $\mathscr{T}$ 与公理 $B$ 推导的理论中的证明 $A$ 完成的。这些注立即引向下面的判据，其中的证明我们留给读者：

C22。 令$\mathscr{T}$中的$A$、$B$、$C$为关系。如果$A \Leftrightarrow B$在$\mathscr{T}$中是定理，则$B \Leftrightarrow A$在$\mathscr{T}$中是定理。如果$A \Leftrightarrow B$和$B \Leftrightarrow C$在$\mathscr{T}$中是定理，则$A \Leftrightarrow C$在$\mathscr{T}$中是定理。

C23。 令$A$、$B$等价于$\mathscr{T}$中的关系，令$C$等价于$\mathscr{T}$中的关系。那么以下是$\mathscr{T}$中的定理：

C24。 令$\mathscr{T}$中的$A$、$B$、$C$为关系。那么以下是$\mathscr{T}$中的定理：

C25。 如果$\mathscr{T}$中$A$是定理并且$B$在$\mathscr{T}$中是关系，则

是 $\mathscr{T}$ 中的定理。如果“不是$A$”是$\mathscr{T}$中的定理，则$(A$或$B) \Rightarrow B$是$\mathscr{T}$中的定理。

¶ 在原理中，从现在开始，级数、判据 C1 到 C25 将在没有参考的情况下使用。

习题

参见习题为 § 3。

[^1]: 这个概形可以不使用字母$A$或缩写符号$\Rightarrow$来表达，如下所示：*每当我们有关系时，我们通过从左到右写，*$\vee$，$\neg$，$\vee$，*然后给出给定的关系来获得定理三次*。 The reader may, as an exercise, translate in a similar way the expressions of the other schemes. [^2]: In everyday speech, the word "or" has two different meanings, according to the context : when we link two statements by the word "or" we may mean to assert at least one of the two (and possibly both together), or we may mean to assert one to the exclusion of the other.