习题 8, § 4

设$\mathfrak{R} = (\mathrm{X}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$和$\mathfrak{S} = (\mathrm{Y}_\varkappa)_{\varkappa \in \mathrm{K}}$是集合E的两个覆盖。

(a) 证明如果$\mathfrak{R}$和$\mathfrak{S}$是E的划分并且$\mathfrak{R}$是更细比$\mathfrak{S}$，那么对于每个$\varkappa \in \mathrm{K}$都存在$\iota \in \mathrm{I}$使得$\mathrm{X}_\iota \subset \mathrm{Y}_\varkappa$。

(b) 给出两个覆盖层$\mathfrak{R}$、$\mathfrak{S}$的例，使得$\mathfrak{R}$比$\mathfrak{S}$是更细，但不满足(a)中所述的性质。

(c) 给出 E 的两个划分 $\mathfrak{R}$、$\mathfrak{S}$ 的例，使得对于每个$\varkappa \in \mathrm{K}$，都存在 $\iota \in \mathrm{I}$，从而$\mathrm{X}_\iota \subset \mathrm{Y}_\varkappa$，但$\mathfrak{R}$ 不是 $\mathfrak{S}$ 的细化。