Bourbaki

习题 10, § 6

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集合论, II, 128

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

(a) 如果R{x,y}R\{x, y\}是任意关系，则“R{x,y}R\{x, y\}和R{y,x}R\{y, x\}”是对称的关系。在什么条件下它反身于集合EE？

(b) 令 R{x,y}R\{x, y\} 为集合 EE 上的自反且对称的关系。设S{x,y}S\{x, y\}为关系，“存在EE的元素的整数、n>0n > 0和序列(xi)0⩽i⩽n(x_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}，使得x0=xx_0 = x、xn=yx_n = y，并且对于每个指标 ii such that 0⩽i<n0 \leqslant i < n, R{xi,xi+1}R\{x_i, x_{i+1}\}".证明S{x,y}S\{x, y\}是EE上的等价关系，并且它的图是EE上等价所有图的最小的，其中包含是RR的图。 等价类相对于SS被称为EE相对于关系RR的连通分量*。

(c) 设F\mathfrak{F}为子集AA或EE的集合，使得对于元素(y,z)(y, z)的每个对，使得y∈Ay \in A和z∈E−Az \in E - A，我们“不R{y,z}R\{y, z\}”。

对于每个x∈Ex \in \mathrm{E}，显示集合A∈F\mathrm{A} \in \mathfrak{F}的交，使得x∈Ax \in \mathrm{A}是xx相对于关系R的连通分量。\*

解答

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