习题 11, § 1

如果 E 的每个子集中至少有上界和下确界，则称格子 E 是“完全”的；这尤其意味着 E 具有最大的且至少有元素。

(a) 证明如果有序集合 E 使得 E 的每个子集在 E 中至少有上界，则 E 是一个完全格。

(b) 有序集的乘积是完全格当且仅当因子中的每一个都是完全格。

(c) 序数和 (习题 3) $\sum_{\iota \in I} E_\iota$ 是一个完全格当且仅当满足以下条件 ：

(I)I是完全格子。

(II) If J is a subset of I which has no greatest element, and if $\sigma = \sup J$, then $E_\sigma$ has a least element.

(III) 对于每个$\iota \in I$，$E_\iota$中的每个子集在$E_\iota$中有上界，在$E_\iota$中至少有上界。

(IV) 对于每个$\iota \in I$，使得$E_\iota$没有最大元素，所有$\varkappa > \iota$中的集合至少有元素$\alpha$，$E_\alpha$至少有元素。

(d) 有序集合 E 的单调递增映射的有序集合 $\mathscr{A}(E, F)$ 到有序集合 F (习题 6) 是一个完全格当且仅当 F 是一个完全格。