习题 17, § 1

具有至少元素 $\alpha$ 的格子 E 被称为“相对互补”，如果对于 E 的元素 $x$、$y$ 的每个对，使得 $x \leqslant y$，存在元素 $x'$，使得 $\sup\,(x, x') = y$和$\inf\,(x, x') = \alpha$。 这样的元素$x'$被称为$x$相对于$y$的*相对补集*。

\* (a) Show that the set E of vector subspaces of a vector space of dimension $\geqslant 2$, ordered by inclusion, is a relatively complemented lattice, but that if $x$, $y$ are two elements of E such that $x \leqslant y$, there exist in general several distinct relative complements of $x$ with respect to $y$. \*

(b) 如果 E 是可分配且相对补的，证明如果 E 中存在 $x \leqslant y$，则存在 $x$ 相对于 $y$ 的唯一相对补。 如果 E 具有分配性且相对互补，并且具有最大元素 $\omega$，则称其为“布尔格”。 对于每个$x \in$ E，令$x^*$为$x$相对于$\omega$的补集。 那么映射$x \to x^*$是E的同构到通过赋予E相反的顺序而得到的有序集合上，我们有$(x^*)^* = x$。如果 A 是任意集合，则 A 的所有子集中的集合 $\mathfrak{P}(\mathrm{A})$（按包含排序）是布尔格。

(c) 如果 E 是一个*完整*布尔格 (习题 11)，则表明对于 E 的元素的每个族 $(x_\lambda)$ 和每个 $y \in$ E，我们有

（约化对于情况$y = \alpha$，并使用这样的事实：如果$\inf\,(z, x_\lambda) = \alpha$对于每个指标$\lambda$，那么$z^* \geqslant x_\lambda$对于每个$\lambda$）。