习题 19, § 1

如果一个有序的集合 E 被称为“无间隙”，如果它包含两个不同的可比较的元素，并且对于元素 $x$、$y$ 的每个对，使得 $x < y$，开区间 $]x, y[$ 不为空。证明序数和 $\sum_{\iota \in I} E_\iota$ (习题 3) 没有间隙当且仅当满足以下条件 ：

(I) 要么I包含两个不同的可比较元素，要么存在$\iota \in I$使得$E_\iota$包含两个不同的可比较元素。

(II) 每个$E_\iota$其中包含至少有两个不同的可比较的元素没有间隙。

(III) 如果$\alpha$、$\beta$是I的两个元素，使得$\alpha < \beta$，并且如果I中的区间$]\alpha, \beta[$为空，则$E_\alpha$没有极大元素，或者$E_\beta$没有最小值元素。

特别是，如果没有 $E_\iota$ 具有极大元素（或者没有 $E_\iota$ 具有最小元素），则集合的每个没有间隙的序数和 $\sum_{\iota \in I} E_\iota$ 本身就是没有间隙的。如果I没有间隙，并且每个$E_\iota$要么没有间隙，要么包含没有两个不同的可比较的元素，则$\sum_{\iota \in I} E_\iota$没有间隙。