习题 20, § 1

如果 E 中没有有序子集没有间隙 (习题 19)，则有序的集合 E 被称为“分散”。分散的集合中的每一个子集都是分散的。 \* 多个元素中的每一个良序集都是分散的。 \*

(a) 假设 E 是分散的。那么，如果$x$，$y$是E的任意两个元素使得$x < y$，则存在E的两个元素，$x'$，$y'$使得$x \leqslant x' < y' \leqslant y$并且区间$]x', y'[$为空。 \* 给出全序集的例，它满足这个条件并且不分散（考虑康托尔三元集合）。 \*

(b) 序数和 $E = \sum_{\iota \in I} E_\iota$（其中 I 和任何 $E_\iota$ 都不为空）当且仅当 I 和每个 $E_\iota$ 都是分散的。 （注 E 包含子集同构于 I 并且 E 的每个子集 F 是非空的集合 $F \cap E_\iota$ 的序数和；最后使用习题 19。）