习题 22, § 1

(a) 令 E 为有序集合。如果对于每个 $x \in U$，U 包含间隔$[x, \rightarrow[$，则 E 的子集 U 被称为“开”。如果不存在与 U 不同的开集合 $V \supset U$，则开集合 U 被称为*常规*，使得 U 在 V 中是共尾的。证明每个开集合 U 恰好在一个常规开集合 $\tilde{U}$ [^1] 中是共尾的。 映射$U \rightarrow \tilde{U}$是递增。如果 U、V 是两个开集合，使得 $U \cap V = \emptyset$，则也有 $\tilde{U} \cap \tilde{V} = \emptyset$。

(b) 证明 E 的正则开子集按包含排序，集合 $R(E)$ 是一个完整的布尔格 (习题 17)。对于 $R(E)$ 由两个元素组成，E 必须非空且*右向*是充分必要的。

(c) 如果 F 是 E 的共尾子集，则证明映射 $U \rightarrow U \cap F$ 是 $R(E)$ 的同构到 $R(F)$。

(d) 如果$E_1$，$E_2$是两个有序集，则$E_1 \times E_2$中的每个开集合都是形式$U_1 \times U_2$，其中$U_i$在$E_i$中开（$i=1$，2）。 集合 $R(E_1 \times E_2)$ 与 $R(E_1) \times R(E_2)$ 同构的。

[^1]: This terminology may be justified by noting that there exists a unique topology on E for which the open sets (resp. regular open sets) are those defined in Exercise 22 (a) (cf. General Topology, Chapter I, § 1, Exercise 2 and § 8, Exercise 20).