习题 4, § 1

令 E 为有序集合，并令 $(\mathrm{E}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$ 为由 E 的连通分量 (章 II, § 6, 习题 10) 形成的 E 的划分，关于自反且对称的关系“$x = y$ 或 $x$ 且$y$ 没有可比性”。

(a) 证明如果$\iota \neq \varkappa$、$x \in \mathrm{E}_\iota$和$y \in \mathrm{E}_\varkappa$具有可比性，则$x$、$y$具有可比性；如果，对于例、$x \leqslant y$、$y' \in \mathrm{E}_\varkappa$ 和 $y' \neq y$，则还有 $x \leqslant y'$（使用以下事实：不存在 $\mathrm{E}_\varkappa$ 的划分分成两个集合 A 和 B，这样 A 的每个元素都可与每个元素进行比较） B) 的元素。

(b) 从(a)推导出E的等价关系 S 相应的到划分$(\mathrm{E}_\iota)$与E上的序关系$x \leqslant y$相容的（在$x$和$y$中），并且商顺序为集合E/S (习题2) 完全有序。

(c) 有序集合 $\mathrm{E} = \mathrm{F} \times \mathrm{G}$ 的连通分量是什么，它是两个全序集的乘积 ？ \*