习题 5, § 1

令 E 为有序集合。如果 X 中没有两个不同的元素具有可比性，则 E 的子集 X 被称为“自由”。令$\mathfrak{J}$为E的自由子集的集合。证明，在$\mathfrak{J}$上，关系“给定任何$x \in \mathrm{X}$，存在$y \in \mathrm{Y}$，使得$x \leqslant y$”在X和Y之间为序关系，写为$\mathrm{X} \leqslant \mathrm{Y}$。 映射 $x \to \{x\}$ 是 E 的同构到有序集合 $\mathfrak{J}$ 的子集上。如果$\mathrm{X} \subset \mathrm{Y}$，其中$\mathrm{X} \in \mathfrak{J}$和$\mathrm{Y} \in \mathfrak{J}$，则表明$\mathrm{X} \leqslant \mathrm{Y}$。有序的集合 $\mathfrak{J}$ 是全序的当且仅当 E 是全序的，然后 $\mathfrak{J}$ 与 E 自然同构。