习题 6, § 2

令 E 为有序集合，并令 $f$ 为 E 到 E 中的映射，使得所有 $x \in E$ 都有 $f(x) \geqslant x$。

(a) 设 $\mathfrak{G}$ 为 E 的子集 M 的集合，具有以下性质： (1) 关系 $x \in M$ 蕴涵 $f(x) \in M$； (2) 如果 M 的非空子集在 E 中至少有上界，则这个至少上界属于到 M。对于每个 $a \in E$，证明 $\mathfrak{G}$ 的集合的交 $C_a$ 其中包含$a$还有属于至$\mathfrak{G}$； $C_a$ 是良序的；如果$C_a$在E中有上界$b$，则$b \in C_a$和$f(b) = b$。据说$C_a$是$a$的*链*（相对于函数$f$）。 （考虑 E 的集合 $\mathfrak{M}$，其元素为空集和子集 X，其中包含 $a$，且 E 中至少有上界 $m$，使得$m \notin X$或$f(m) > m$，任意适用no. 3至集合$\mathfrak{M}$中的引理3。）

(b) 从 (a) 推导出，如果 E 是感性的，则存在 $b \in E$ 使得 $f(b) = b$。