习题 8, § 2

如果对于 E 的元素 $x$、$y$ 中的每个对，使得$x < y$，存在$z > x$，使得$y$ 和 $z$ 不可比较，则称有序集合 E 是*分支*（在右侧）。如果 E 是分枝的且没有极大元素，则称其为“完全分枝”（在右侧）。每个反向集合 (§ 1, 习题 22) 都是分支的。

(a) 令E为有序集合，令$a$为E的元素。令$\mathfrak{R}_a$表示E的分支子集的集合，其中$a$至少为元素。证明按包含顺序排列的$\mathfrak{R}_a$有极大元素。

(b) 如果 E 是分支的 (§ 1, 习题 24)，则表明 $\mathfrak{R}_\alpha$ 的每个极大元素都是完全分支的。

(c) 给出未分枝的支链集合的例。 §1、习题24(c)中定义的支链集合是完全分支的。

(d) 令 E 为集合，其中每个区间 $]\leftarrow, x]$ 都是全序的。证明 E 有一个反向共尾子集 (§1, 习题 22)（使用 (b)）。