习题 11, § 4

Let A be a set and let $\mathfrak{R}$ be a subset of the set $\mathfrak{F}(A)$ of finite subsets of A. $\mathfrak{R}$ is said to be mobile if it satisfies the following condition :

（MO）如果X，Y是$\mathfrak{R}$的两个不同的元素，并且如果$z \in X \cap Y$，则存在$Z \subset X \cap Y$属于到$\mathfrak{R}$使得$z \notin Z$。

如果 A 的子集 P 包含没有集合属于到 $\mathfrak{R}$，则称其为“纯”。

(a) 证明 A 的每个纯子集都包含在 A 的最大纯子集中。

(b) 令 M 为 A 的最大纯子集。证明对于每个$x \in \complement M$，存在 M 的唯一有限子集$E_M(x)$，使得$E_M(x) \cup \{x\} \in \mathfrak{R}$。此外，如果$y \in E_M(x)$，集合$(M \cup \{x\}) - \{y\}$是A的最大纯子集。

(c) 令 M、N 为 A 的两个最大纯子集，使得 $N \cap \complement M$ 是有限的。证明卡 (M) = 卡 (N)。 （证明乘以归纳在$N \cap \complement M$的基数上，使用(b)。）

(d) 设M、N为A的两个最大纯子集，并放入$N' = N \cap \complement M$、$M' = M \cap \complement N$。表明

\* 推导出 Card (M) = Card (N)（根据（c），我们被简化为 N' 和 M' 无穷大的情况；然后证明 Card (M') $\leqslant$ Card (N')）。 \*