习题 9, § 4

如果对于 A 的元素的每个对 $(x, y)$，$\sup_{\mathrm{E}}(x, y)$ 和 $\inf_{\mathrm{E}}(x, y)$ 属于都属于 A，则格子 E 的子集 A 被称为*子格子*。

(a) 令 $(\mathrm{C}_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ 为全序集的有限族，并令

成为他们的乘积。设 A 为 E 的子格。证明不能具有超过 $n$ 不可约元 (习题 7) 个，其中没有两个是可比较的。 （证明是通过*归谬法*。假设A中存在$r > n$不可约元$a_1$，...，$a_r$，其中没有两个是可比较的。考虑元素$u = \sup{(a_1, \ldots, a_r)}$和

A. 通过投影到因子，表明 $u = v_i$ 对于某些指标 $i$，因此 $a_i$ 中的两个是可比较的。）

(b) 相反，令 F 为有限分配格，令 P 为 F 的不可约元的集合，除了 F 的最小元素之外，并假设 $n$ 为 P 的自由子集中的元素最大的数 (§ 1， 习题5)。 证明 F 同构于 $n$ 全序集的乘积子格。 （应用习题 5，这表明P是$n$全序集$\mathrm{P}_i$中的并，而公共的中没有元素。 设$\mathrm{C}_i$为通过至少邻接元素至$\mathrm{P}_i$$(1 \leqslant i \leqslant n)$而获得的全序集。 每个$x \in \mathrm{F}$与家庭$(x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$相关联，其中$x_i$是$\mathrm{C}_i$、集合、元素、$\mathrm{P}_i$中最小的上界，即$\leqslant x$。）