习题 12, § 6

(a) 证明，对于每个序数 $\alpha$ 和每个序数 $\gamma > 1$，存在两个有限序列的序数 $(\lambda_i)$ 和 $(\mu_i)$ $(1 \leqslant i \leqslant k)$，使得

其中$0 < \mu_i < \gamma$对应每个$i$，$\lambda_i > \lambda_{i+1}$对应$1 \leqslant i \leqslant k - 1$（使用§ 2的习题 18 (d) 和§ 4的习题 3）。而且，序列、$(\lambda_i)$、$(\mu_i)$是由这些条件唯一确定的。特别是，存在唯一的有限递减序列 $(\beta_j)_{1 \leqslant j \leqslant m}$ 使得

让 $\varphi(\alpha)$ 表示分解中的最大的序数 $\omega^{\beta_1}$。

(b) 对于形式 $\alpha_{\sigma(1)} + \alpha_{\sigma(2)} + \cdots + \alpha_{\sigma(n)}$序数词的集合中的元素中的每个整数$n$，令$f(n) \leqslant n!$为最大的数，其中$(\alpha_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$是任意的$n$序数的序列，以及$\sigma$贯穿区间$[1, n]$的置换的集合。表明

(1)

（首先考虑所有$\varphi(\alpha_i)$相等的情况，并证明所需形式的不同序数的最大的可能数等于$n$，通过§ 2的利用习题16（a）。然后使用归纳法序数 $\alpha_i$ 的数，其中 $\varphi(\alpha_i)$ 在序数 $\varphi(\alpha_j)$ $(1 \leqslant j \leqslant n)$ 的集合中取最小可能的值。） 从 (1) 推出，对于 $n \geqslant 20$，我们有 $f(n) = 81 f(n-5)$。

(c) 证明 $n!$ 序数词 $(\omega + \sigma(1))(\omega + \sigma(2)) \ldots (\omega + \sigma(n))$ 都是不同的，其中 $\sigma$ 贯穿 $[1, n]$ 的所有置换中的集合。