习题 14, § 6

(a) 证明如果 $\alpha \geqslant 2$ 并且 $\beta$ 没有前驱，则 $\alpha^\beta$ 是不可分解序数 (cf. § 2, 习题 16 (a))；如果 $\alpha$ 是有限的并且如果 $\beta = \omega\gamma$，则 $\alpha^\beta = \omega^\gamma$；如果 $\alpha$ 是无限的，并且 $\pi$ 是最大的不可分解序数 $\leqslant \alpha$，则 $\alpha^\beta = \pi^\beta$（使用习题 11）。

(b) 序数$\delta$对于函数符号$f(\xi, \eta) = \xi\eta$来说是关键的，当且仅当对于每个$\alpha$使得$1 < \alpha \leqslant \delta$，方程$\delta = \alpha^\xi$有解；那么这个方程的唯一解$\xi$是不可分解的（使用习题13（e），以及§ 2的习题18（d））。相反，对于每个 $\alpha > 1$ 和每个不可分解序数 $\pi$，$\alpha^\pi$ 是关于 $\xi\eta$ 的临界序数（使用习题 13 (c)）。推断 $\delta$ 是关于 $\xi\eta$ 的临界序数当且仅当 $\delta$ 是形式 $\omega^{\omega^\mu}$ (cf. 习题 11 (b))。

(c) 对于序数 $\varepsilon$ 对于功能符号 $f(\xi, \eta) = \xi^\eta$ 而言至关重要，即，对于每个 $\gamma$ 满足 $2 \leqslant \gamma \leqslant \varepsilon$，$\gamma^\varepsilon = \varepsilon$ $2^\varepsilon = \varepsilon$ 就足够了。证明相对于 $\xi^\eta$ 的最不关键序数 $\varepsilon_0$ 是可数的 (cf. 习题 13 (d))。