习题 5, § 7

令I为有向集合，并令$(E_\alpha)_{\alpha \in I}$为格族，使得每个具有相反顺序的$E_\alpha$为诺特（§ 6, no. 5）。对于I中指标的每个对$(\alpha, \beta)$，使得$\alpha \leqslant \beta$让

是*递增* 映射，并假设$(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$是集合相对于I的逆系。对于每个$\alpha \in I$，令$G_\alpha$为$E_\alpha$的非空子集，使得(i) $G_\alpha$中没有两个不同的元素具有可比性，(ii) 每当$\alpha \leqslant \beta$时$f_{\alpha\beta}(G_\beta) = G_\alpha$，(iii) 对于每个$\alpha \leqslant \beta$和每个$x_\alpha \in G_\alpha$， $\overset{-1}{f_{\alpha\beta}}(x_\alpha)$在$E_\beta$中有最大元素$M_{\alpha\beta}(x_\alpha)$，(iv)每当$\alpha \leqslant \beta$时，如果$h_\beta \in E_\beta$存在$y_\beta \in G_\beta$使得$y_\beta \leqslant h_\beta$，则对于每个$x_\alpha \in G_\alpha$使得$x_\alpha \leqslant f_{\alpha\beta}(h_\beta)$存在$x_\beta \in G_\beta$使得$x_\beta \leqslant h_\beta$和$x_\alpha = f_{\alpha\beta}(x_\beta)$。在这些子集$(G_\alpha)$逆系条件逆极限*不为空*。 证明运行如下：

(a) 令 J 为 I 的*有限* 子集。一个族$(x_\alpha)_{\alpha \in J}$，其中$x_\alpha \in G_\alpha$代表所有$\alpha \in J$，如果它满足以下两个条件，则被认为是*相干的*：

(i) 如果$\alpha \in J$、$\beta \in J$、$\alpha \leqslant \beta$，则$x_\alpha = f_{\alpha\beta}(x_\beta)$； (ii) 对于I中J的每个上界$\gamma$，都存在$x_\gamma \in G_\gamma$，使得$x_\alpha = f_{\alpha\gamma}(x_\gamma)$对于所有$\alpha \in J$。证明，对于I中J的每个上界$\gamma$，集合$\bigcap\limits_{\alpha \in J} \overset{-1}{f_{\alpha\gamma}}(x_\alpha)$都有最大元素等于$\inf\limits_{\alpha \in J} (M_{\alpha\gamma}(x_\alpha))$；此外，$G_\gamma$和$\bigcap\limits_{\alpha \in J} \overset{-1}{f_{\alpha\gamma}}(x_\alpha)$的交是所有$y_\gamma \in G_\gamma$的集合（假设非空），这样

（使用条件 (i)）。

(b) 令 J 为 I 中的任意子集。 A family $x_J = (x_\alpha)_{\alpha \in J}$, where $x_\alpha \in G_\alpha$ for all $\alpha \in J$, is said to be coherent if every finite subfamily of $x_J$ is coherent. 如果$J \neq I$且如果$\beta \in I - J$，则表明存在$x_\beta \in G_\beta$使得族$x_{J \cup \{\beta\}} = (x_\alpha)_{\alpha \in J \cup \{\beta\}}$是相干的。 （使用（a）和条件（iv）表明，对于J的每个有限子集F，如果$\gamma$是$F \cup \{\beta\}$的上界，则$f_{\beta\gamma}\left(G_\gamma \cap \bigcap\limits_{\alpha \in F} \overset{-1}{f_{\alpha\gamma}}(x_\alpha)\right)$是所有$y_\beta \in G_\beta$（$\leqslant f_{\beta\gamma}\left(\inf\limits_{\alpha \in F} (M_{\alpha\gamma}(x_\alpha))\right)$）的（非空）集合。 利用$E_\beta$赋予相反顺序的是诺特这一事实，接下来证明存在J的有限子集$F_0$和$F_0 \cup \{\beta\}$的上界$\gamma_0$，使得对于J的每个有限子集F和每个上界$\gamma$ $F \cup \{\beta\}$ 我们有

然后证明每个元素$x_\beta \in F_\beta$即$\leqslant f_{\beta\gamma_0}\left(\inf\limits_{\alpha \in F_0} (M_{\alpha\gamma_0}(x_\alpha))\right)$都满足所需的条件。

(c) 最后，通过证明存在一个相干族，其指标集合是I的整体来完成证明。 （相干族$x_J$的序集合通过关系“$x_J$是$x_K$的子族”，并应用（b）和Zorn的引理。）