习题 11, § 2

令$\Sigma$为结构种（理论上为$\mathscr{T}$），它只有一个基集合。令$s\in F(x)$为典型的刻画，而$R\{x,s\}$为$\Sigma$的公理。令$A(x)$表示$x$上类$\Sigma$的结构集合。设$\sigma\{x,y,s,t\}$为项，满足条件、$(\mathrm{MO}_I)$、$(\mathrm{MO}_{II})$以及以下条件：

$(\mathrm{MO}'_{III})$ 给定两个集合 E，E'（理论上$\mathscr{T}'$强于$\mathscr{T}$），分别赋予结构$\mathscr{S}$、$\mathscr{S}'$或类$\Sigma$，如果$f$存在的话E 的同构到 E'，然后 $f\in\sigma\{E,E',\mathscr{S},\mathscr{S}'\}$。

(a) 令 $I_x$ 为 $x$ 的恒等映射自身。显示关系 $Q\{x,s,t\}$ ：

等价关系位于 $A(x)$ 上的 $s$ 和 $t$ 之间。令$B(x)$为商集$A(x)/Q$，并令$\varphi_x$为$A(x)$到$B(x)$的典范映射。假设关系$s'\in B(x)$是可传递的（参见附录中的条件，这将确保事实如此），并让$\Theta$用典型的刻画$s'\in \mathfrak{P}(F(x))$和公理$s'\in B(x)$表示结构种。

(b) 设$\bar{\sigma}\{x,y,s',t'\}$为映射$f\in\mathscr{T}(x,y)$中的集合，其中满足以下关系：“$s'\in B(x)$和$t'\in B(y)$，并且存在$s\in A(x)$和$t\in A(y)$使得$s'=\varphi_x(s)$还有$t'=\varphi_y(t)$和$f\in\sigma\{x,y,s,t\}$。”证明，对于结构种 $\Theta$，项 $\bar{\sigma}$ 满足 $(\mathrm{MO}_I)$、$(\mathrm{MO}_{II})$ 和 $(\mathrm{MO}_{III})$ 并且我们有