Bourbaki

习题 2, § 2

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集合论, IV, 291

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令 S 为 n+mn + m 字母 (习题 1) 上的有符号梯形型。设Σ\Sigma为结构种，其中x1x_1，...，xnx_n为主基集合，A1\mathrm{A}_1，...，Am\mathrm{A}_m为辅助基集合，其典型的刻画为形式s∈P(S(x1,…,xn,A1,…,Am))s \in \mathfrak{P}(\mathrm{S}(x_1, \ldots, x_n, \mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m))。证明我们可以对这个结构种进行σ\sigma态射的定义概念如下：给定nn集合E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n赋予类Σ\Sigma、nn结构U 集合E1′,…,En′\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n赋予类Σ\Sigma的结构U′\mathrm{U}'，以及映射fi:Ei→Ei′f_i : \mathrm{E}_i \to \mathrm{E}'_i(1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n)，则(f1,…,fn)(f_1, \ldots, f_n)被称为σ\sigma态射如果映射fif_i满足以下条件：

(i) 如果 S 是协变梯队型，则

{f1, …,fn,I1, …,Im}S⟨U⟩⊂U′.\{f_1, \ \ldots, f_n, \mathrm{I}_1, \ \ldots, \mathrm{I}_m\}^{\mathrm{S}}\langle \mathrm{U} \rangle \subset \mathrm{U}'.

(ii) 如果 S 是逆变梯队型，则

{f1, …,fn,I1, …,Im}S⟨U′⟩⊂U.\{f_1, \ \ldots, f_n, \mathrm{I}_1, \ \ldots, \mathrm{I}_m\}^{\mathrm{S}}\langle \mathrm{U}' \rangle \subset \mathrm{U}.

证明通过适当地分配方差，我们可以通过这种方式获得序结构的态射的定义、代数结构和拓扑结构。

解答

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