习题 1, § 1

令 $E_0 = \mathbf{Q}_p^\mathbf{N}$ 为 $p$-adic 域 $\mathbf{Q}_p$（GT，III, § 6，执行 23）上的向量空间，它是因子的可枚举无穷大的乘积，每个都与 $\mathbf{Q}_p$ 相同。令$P \subset E_0$为集合$\mathbf{Z}_p^\mathbf{N}$，令$E$为由$P$生成的$E_0$的向量子空间。在加法群$P$上，我们考虑因子$\mathbf{Z}_p$拓扑的乘积紧凑拓扑，并且对于这个拓扑，我们用$\mathfrak{B}$表示$P$中0的邻域过滤器。证明$\mathfrak{B}$是$E$中0的邻域的基本系统对于拓扑$\mathscr{T}$与$E$的加法群结构兼容，满足(EVT'_I)和(EVT'_III)，但是不是 (EVT'_II) （证明位似 $x \mapsto x/p$ 在 $E$ 中不连续）。