习题 12, § 1

令K为*离散*域，E形式的级数$A = K[[X, Y]]$环分数除环在K上的两个不定变量（A，IV，p. 36）上。对于每个$n \geq 0$，令$V_n \subset A$为总次数的形式级数中的集合至少等于n。证明在 E 中，集合 $V_n$ 形式邻域的基本系统为 0，对于拓扑与 E 的向量空间结构兼容（在 K 上），其中 E 是可度量且完备的；如果进一步 K 为有限域，则 E 是局部紧的。证明 E 中 $E \times E$ 的 K 双线性映射 $(u, v) \mapsto uv$ 在点 (0, 0) 处连续，但存在 $u_0 \in E$ 使得 $v \mapsto u_0 v$ 在 E 中不连续（对于例 $u_0 = 1/X$）。