习题 3, § 1

对于每个实数$\alpha > 0$，令$G_\alpha$为拓扑群$\mathbf{R}/\alpha \mathbf{Z}$，并令$G$为拓扑乘积群$\prod_\alpha G_\alpha$（$\alpha$随集合变化） 数$> 0$）。对于每个$x \in \mathbf{R}$，令$t_\alpha(x)$为$G_\alpha$中$x$的典范像； 映射 $\phi : x \to (t_\alpha(x))$ 是 $G$ 中 $\mathbf{R}$ 的连续单同态。我们在$\mathbf{R}$拓扑上考虑逆像乘以$G$的$\phi$，并用$E$表示由$\mathbf{R}$与拓扑形成的拓扑群。证明当 $E$ 被视为向量空间超过 $\mathbf{R}$ 时，其拓扑满足 (EVT'_I) 和 (EVT'_II)，但不满足 (EVT'_III)。