习题 7, § 1

\* 令 A 为环，具有离散估值，v 为 A 的分数 K 除法环的标准化估值；取 K 上的绝对值值 $a^v$，其中 $0 < a < 1$。令 E 为 K 上的赋范向量空间，其中范数满足超度量不等式

a) 用 M 集合表示那些 $x \in E$ 其中 $\|x\| \leq 1$，并用 $\pi$ 表示 A 的均匀化器； M 是 A-模，并且 $M/\pi M$ 向量空间在 A 的残差除法环 $k = A/\pi A$ 上。令 $(e_\lambda)_{\lambda \in L}$ 是 M 的元素的族，使得 $e_\lambda$ 的像在 $M/\pi M$ 形式这个向量 k 空间的基。证明$(e_\lambda)$是E中的独立族，并且$(e_\lambda)$生成的E的向量子空间F在E中是稠密的。 b) 如果我们将 $\|x\|_1 = \sup_\lambda |\xi_\lambda|$ 放入 F 中，对于每个 $x = \sum_\lambda \xi_\lambda e_\lambda$，证明在 F 上范数 $\|x\|$ 和 $\|x\|_1$ 是等价的。 c) 令K 完整。由a)和b)推导出，如果L有限，则E的完备性$\hat{E}$同构于$K^L$；如果L是无限的$\hat{E}$同构于由$(\xi_\lambda)$族组成的$\mathscr{B}_K(L)$的子空间$\mathscr{C}_K^0(L)$，使得$\lim \xi_\lambda = 0$用于L的有限子集的补集过滤器。 d) 我们假设 K 和 E 是完备的；设 G 是 K 上的第二个范数完备空间，其范数满足超度量不等式。证明在 $\mathscr{L}(E; G)$ (GT, X, § 3.2) 的替换 (如果需要) 范数上有等价的 1，则 $\mathscr{L}(E; G)$ 与 G 的元素族 $(y_\lambda)_{\lambda \in L}$ 向量空间等距，使得 $\sup_{\lambda \in L} \|y_\lambda\| < + \infty$， 范数 $\sup_{\lambda \in L} \|y_\lambda\|$（这也是超量度范数）。