习题 8, § 2

令 $p$ 为 $p$-adic 数的质数数、$\mathbf{Q}_p$ 域（GT、III, § 6，练习 23）。设$E_0$为拓扑乘积空间$\mathbf{Q}_p \times \mathbf{R}$；如果 K 用离散的拓扑表示域 $\mathbf{Q}$，则 $E_0$ 是 K 上的拓扑向量空间。令 M 为由元素 $(r, r)$ 形成的向量子空间，其中 $r$ 变化$\mathbf{Q}$；进一步令$\theta$为无理数数，N向量子空间由元素$(0, r\theta)$构成，其中$r$随$\mathbf{Q}$变化。令 E 为 $E_0$ 的子空间 $M + N$；证明 N 是 E 中的闭超平面，但不存在 N 的互补拓扑子空间（注，M 在 $E_0$ 中处处稠密）。